4) (3pts)
Utilize o método da variação de parâmetros para calcular uma solução particular da equação
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
O que é pedido: usar o método da variação de parâmetros para calcular uma solução particular
dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação dada:
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - O método imposto pelo enunciado é a variação de parâmetros (não usar outro método).
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, porque a variação de parâmetros usa a base de soluções da homogênea. A homogênea é
Formamos o polinômio característico
Para resolver:
Assim os dois valores são
Portanto uma base de soluções da homogênea é
Passo 3
Colocamos a equação em forma padrão (coeficiente de
igual a
) dividindo por
. Assim obtemos
Aqui, por convenção da variação de parâmetros, chamo de
o lado direito:
Passo 4
Resumo da ideia da variação de parâmetros (mini-aula): procurar uma solução particular da forma
onde
para simplificar as expressões e assim obter o sistema para
e
:
Resolvendo esse sistema para
usando o Wronskiano
obtemos as fórmulas padrão:
Depois integra-se para achar
e se monta
. (Constantes de integração podem ser tomadas nulas porque buscamos apenas uma particular.)]
Passo 5
Calcular o Wronskiano das duas soluções encontradas. As derivadas são
Então
Fatorando
:
Passo 6
Agora aplicamos as fórmulas para
e
com
:
Simplificando fatores:
E
Passo 7
Integramos
primeiro (é imediata):
Para a solução particular podemos escolher
, então tomamos
Passo 8
Agora integramos
:
Mini-aula sobre a integral tipo
: existe uma fórmula fechada
que pode ser obtida por integração por partes duas vezes ou usando números complexos
. Aqui
e
. Logo
Calcule o denominador:
Assim
Multiplicando por
(lembrando
vezes essa integral):
Simplificando os coeficientes:
vamos arrumar o sinal também:
Multiplicando
, obtemos uma forma mais compacta. Tomando
para a particular:
Passo 9
Montamos a solução particular
. Substituindo
,
, e os
encontrados:
Primeiro termo:
Segundo termo: Portanto
Segundo termo:
Passo 10
Simplificamos os coeficientes dentro dos parênteses. Para
:
Para
:
Logo