4) (3pts)

Utilize o método da variação de parâmetros para calcular uma solução particular da equação
3 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=(\operatorname{sen} t) e^{-t}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
3y''+4y'+y=(\sin t)e^{-t}.
O que é pedido: usar o método da variação de parâmetros para calcular uma solução particular y_p(t) dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação dada: \;3y''+4y'+y=(\sin t)e^{-t}.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é (\sin t)e^{-t}.
  • O método imposto pelo enunciado é a variação de parâmetros (não usar outro método).

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, porque a variação de parâmetros usa a base de soluções da homogênea. A homogênea é
3y''+4y'+y=0.
Formamos o polinômio característico \;3r^2+4r+1=0. Para resolver:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot3\cdot1}}{2\cdot3}=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{6}=\frac{-4\pm2}{6}.
Assim os dois valores são
r_1=\frac{-4+2}{6}=-\tfrac{1}{3},\qquad r_2=\frac{-4-2}{6}=-1.
Portanto uma base de soluções da homogênea é
y_1(t)=e^{-t/3},\qquad y_2(t)=e^{-t}.

Passo 3

Colocamos a equação em forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1) dividindo por 3. Assim obtemos
y''+\frac{4}{3}y'+\frac{1}{3}y=\frac{1}{3}e^{-t}\sin t.
Aqui, por convenção da variação de parâmetros, chamo de g(t) o lado direito:
g(t)=\frac{1}{3}e^{-t}\sin t.

Passo 4

Resumo da ideia da variação de parâmetros (mini-aula): procurar uma solução particular da forma
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),
onde y_1,y_2\) são as soluções da homogênea e \(u_1,u_2\) são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar \[u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0
para simplificar as expressões e assim obter o sistema para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0,\\[4pt] u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=g(t). \end{cases}
Resolvendo esse sistema para u_1'\] e \(u_2' usando o Wronskiano W(t)=y_1y_2'-y_1'y_2 obtemos as fórmulas padrão:
u_1'(t)=-\frac{g(t)\,y_2(t)}{W(t)},\qquad u_2'(t)=\frac{g(t)\,y_1(t)}{W(t)}.
Depois integra-se para achar u_1,u_2 e se monta y_p. (Constantes de integração podem ser tomadas nulas porque buscamos apenas uma particular.)]

Passo 5

Calcular o Wronskiano das duas soluções encontradas. As derivadas são
y_1'(t)=-\tfrac{1}{3}e^{-t/3},\qquad y_2'(t)=-e^{-t}.
Então
W(t)=y_1y_2'-y_1'y_2=e^{-t/3}(-e^{-t})-(-\tfrac{1}{3}e^{-t/3})e^{-t}.
Fatorando e^{-t/3}e^{-t}=e^{-4t/3}:
W(t)=e^{-4t/3}\left(-1+\tfrac{1}{3}\right)=e^{-4t/3}\left(-\tfrac{2}{3}\right)=-\tfrac{2}{3}e^{-4t/3}.

Passo 6

Agora aplicamos as fórmulas para u_1' e u_2' com g(t)=\dfrac{1}{3}e^{-t}\sin t:
u_1'(t)=-\frac{g(t)\,y_2(t)}{W(t)} =-\frac{\dfrac{1}{3}e^{-t}\sin t\cdot e^{-t}}{-\tfrac{2}{3}e^{-4t/3}}
Simplificando fatores:
u_1'(t)=\frac{1}{2}e^{-2t/3}\sin t.
E
u_2'(t)=\frac{g(t)\,y_1(t)}{W(t)} =\frac{\dfrac{1}{3}e^{-t}\sin t\cdot e^{-t/3}}{-\tfrac{2}{3}e^{-4t/3}} =-\tfrac{1}{2}\sin t.

Passo 7

Integramos u_2' primeiro (é imediata):
u_2(t)=\int u_2'(t)\,dt=\int -\tfrac{1}{2}\sin t\,dt=\tfrac{1}{2}\cos t + C_2.
Para a solução particular podemos escolher C_2=0, então tomamos
u_2(t)=\tfrac{1}{2}\cos t.

Passo 8

Agora integramos u_1':
u_1(t)=\int u_1'(t)\,dt=\int \tfrac{1}{2}e^{-2t/3}\sin t\,dt.
Mini-aula sobre a integral tipo \int e^{\alpha t}\sin(\beta t)\,dt: existe uma fórmula fechada
\int e^{\alpha t}\sin(\beta t)\,dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}\big(\alpha\sin(\beta t)-\beta\cos(\beta t)\big)+C,
que pode ser obtida por integração por partes duas vezes ou usando números complexos e^{(\alpha+i\beta)t}. Aqui \alpha=-\tfrac{2}{3} e \beta=1. Logo
\int e^{-2t/3}\sin t\,dt =\frac{e^{-2t/3}}{(-\tfrac{2}{3})^2+1}\Big(-\tfrac{2}{3}\sin t -\cos t\Big)+C.
Calcule o denominador:
(-\tfrac{2}{3})^2+1=\tfrac{4}{9}+1=\tfrac{13}{9}.
Assim
\int e^{-2t/3}\sin t\,dt=\frac{9}{13}e^{-2t/3}\Big(-\tfrac{2}{3}\sin t-\cos t\Big)+C.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} (lembrando u_1=\tfrac{1}{2} vezes essa integral):
u_1(t)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{9}{13}e^{-2t/3}\Big(-\tfrac{2}{3}\sin t-\cos t\Big)+C_1.
Simplificando os coeficientes: \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{9}{13}=- vamos arrumar o sinal também:
u_1(t)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{13}e^{-2t/3}\Big(\tfrac{2}{3}\sin t+\cos t\Big)+C_1 =-\frac{9}{26}e^{-2t/3}\Big(\tfrac{2}{3}\sin t+\cos t\Big)+C_1.
Multiplicando \tfrac{9}{26}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{18}{78}=\tfrac{3}{13}, obtemos uma forma mais compacta. Tomando C_1=0 para a particular:
u_1(t)=-\frac{3}{26}e^{-2t/3}\big(2\sin t+3\cos t\big).

Passo 9

Montamos a solução particular y_p=u_1y_1+u_2y_2. Substituindo y_1=e^{-t/3}, y_2=e^{-t}, e os u_i encontrados:
y_p(t)=u_1(t)e^{-t/3}+u_2(t)e^{-t}.
Primeiro termo: u_1e^{-t/3}=-\frac{3}{26}e^{-2t/3}e^{-t/3}(2\sin t+3\cos t)=-\frac{3}{26}e^{-t}(2\sin t+3\cos t).
Segundo termo: u_2e^{-t}=\tfrac{1}{2}\cos t\;e^{-t}=\frac{1}{2}e^{-t}\cos t. Portanto
y_p(t)=e^{-t}\Big(-\frac{3}{26}(2\sin t+3\cos t)+\frac{1}{2}\cos t\Big).

Passo 10

Simplificamos os coeficientes dentro dos parênteses. Para \sin t:
-\frac{3}{26}\cdot 2=-\frac{6}{26}=-\frac{3}{13}.
Para \cos t:
-\frac{3}{26}\cdot 3+\frac{1}{2}=-\frac{9}{26}+\frac{13}{26}=\frac{4}{26}=\frac{2}{13}.
Logo
y_p(t)=e^{-t}\Big(-\frac{3}{13}\sin t+\frac{2}{13}\cos t\Big) =\frac{1}{13}e^{-t}\big(2\cos t-3\sin t\big).

Resposta

\displaystyle y_p(t)=\frac{1}{13}e^{-t}\big(2\cos t-3\sin t\big)

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