onde \vec{Y}(t)=\begin{pmatrix}y_1(t)\\[2pt] y_2(t)\end{pmatrix} é a incógnita. O pedido é encontrar a solução geral do sistema (não foi dado valor inicial). As informações relevantes que temos:
A matriz do sistema é \displaystyle A=\begin{pmatrix}10 & -5 \\[4pt] 8 & -12\end{pmatrix}.
Queremos \vec{Y}(t) tal que \vec{Y}'(t)=A\vec{Y}(t).]
Passo 2
Método escolhido: decompor por autovalores e autovetores (diagonalização parcial). Justificativa simples e prática: para sistemas lineares com coeficientes constantes, vetores do tipo \vec{v}e^{\lambda t} são soluções quando \lambda e \vec{v} satisfazem A\vec{v}=\lambda\vec{v}. Se a matriz tem dois autovalores distintos em 2\times2, obtemos duas soluções independentes e a solução geral é combinação linear. Vou aplicar esse método passo a passo.
Passo 3
Calcular os autovalores \lambda resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Primeiro escrevo
A segunda é múltiplo da primeira, basta usar 2x-5y=0\Rightarrow y=\dfrac{2}{5}x. Tomando x=5 (escolha conveniente para evitar frações) obtemos y=2. Um autovetor associado é
Formar a solução geral. Para autovalor \lambda e autovetor \vec{v}, a função \vec{v}e^{\lambda t} é solução do sistema. Como \lambda_1\neq\lambda_2, as duas soluções são linearmente independentes e a solução geral é combinação linear: