Calcule a solução geral ou resolva o PVI:
\vec{Y}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}10 & -5 \\\\ 8 & -12\end{array}\right) \vec{Y},

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear autônomo de primeiras ordens
\vec{Y}^{\prime}(t)=\begin{pmatrix}10 & -5 \\[4pt] 8 & -12\end{pmatrix}\vec{Y}(t),
onde \vec{Y}(t)=\begin{pmatrix}y_1(t)\\[2pt] y_2(t)\end{pmatrix} é a incógnita. O pedido é encontrar a solução geral do sistema (não foi dado valor inicial). As informações relevantes que temos:
  • A matriz do sistema é \displaystyle A=\begin{pmatrix}10 & -5 \\[4pt] 8 & -12\end{pmatrix}.
  • Queremos \vec{Y}(t) tal que \vec{Y}'(t)=A\vec{Y}(t).]

Passo 2

Método escolhido: decompor por autovalores e autovetores (diagonalização parcial). Justificativa simples e prática: para sistemas lineares com coeficientes constantes, vetores do tipo \vec{v}e^{\lambda t} são soluções quando \lambda e \vec{v} satisfazem A\vec{v}=\lambda\vec{v}. Se a matriz tem dois autovalores distintos em 2\times2, obtemos duas soluções independentes e a solução geral é combinação linear. Vou aplicar esse método passo a passo.

Passo 3

Calcular os autovalores \lambda resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Primeiro escrevo
A-\lambda I=\begin{pmatrix}10-\lambda & -5 \\[4pt] 8 & -12-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(10-\lambda)(-12-\lambda)-(-5)(8).
Desenvolvendo:
(10-\lambda)(-12-\lambda) = \lambda^2+2\lambda-120,
e como -(-5)(8)=+40, obtemos o polinômio
\det(A-\lambda I)=\lambda^2+2\lambda-120+40=\lambda^2+2\lambda-80.]

Passo 4

Resolver a equação quadrática \lambda^2+2\lambda-80=0. Calculo o discriminante:
\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-80)=4+320=324.
Como \sqrt{324}=18, as raízes são
\lambda=\frac{-2\pm18}{2}.
Logo
\lambda_1=\frac{-2+18}{2}=8,\qquad \lambda_2=\frac{-2-18}{2}=-10.
Portanto os autovalores são distintos: \lambda_1=8 e \lambda_2=-10.

Passo 5

Calcular um autovetor associado a \lambda_1=8. Resolve-se (A-8I)\vec{v}=\vec{0}. Escrevo
A-8I=\begin{pmatrix}10-8 & -5 \\[4pt] 8 & -12-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] 8 & -20\end{pmatrix}.
As equações lineares são
2x-5y=0,\qquad 8x-20y=0.
A segunda é múltiplo da primeira, basta usar 2x-5y=0\Rightarrow y=\dfrac{2}{5}x. Tomando x=5 (escolha conveniente para evitar frações) obtemos y=2. Um autovetor associado é
\vec{v}_1=\begin{pmatrix}5\\[2pt] 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular um autovetor associado a \lambda_2=-10. Resolve-se (A+10I)\vec{v}=\vec{0}. Escrevo
A+10I=\begin{pmatrix}10+10 & -5 \\[4pt] 8 & -12+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20 & -5 \\[4pt] 8 & -2\end{pmatrix}.
As equações são
20x-5y=0,\qquad 8x-2y=0.
Da primeira vem y=4x. Tomando x=1 obtemos y=4. Um autovetor associado é
\vec{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt] 4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Formar a solução geral. Para autovalor \lambda e autovetor \vec{v}, a função \vec{v}e^{\lambda t} é solução do sistema. Como \lambda_1\neq\lambda_2, as duas soluções são linearmente independentes e a solução geral é combinação linear:
\vec{Y}(t)=C_1 e^{\lambda_1 t}\vec{v}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\vec{v}_2,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se fornecidas). Substituindo os valores encontrados:
\vec{Y}(t)=C_1 e^{8t}\begin{pmatrix}5\\[2pt] 2\end{pmatrix}+C_2 e^{-10t}\begin{pmatrix}1\\[2pt] 4\end{pmatrix}.
Se desejar as componentes explícitas:
y_1(t)=5C_1 e^{8t}+C_2 e^{-10t},\qquad y_2(t)=2C_1 e^{8t}+4C_2 e^{-10t}.]

Resposta

\vec{Y}(t)=C_1 e^{8t}\begin{pmatrix}5\\[2pt]2\end{pmatrix}+C_2 e^{-10t}\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\end{pmatrix}]

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