2) (2pts)
Calcule números
e
tais que
e
, onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedem-se números
tais que . - Além disso esses coeficientes devem satisfazer
, onde
- Informação útil que está explícita: a função a ser operada é o polinómio
. - A tarefa é encontrar
que satisfaçam simultaneamente a condição linear e a equação diferencial algébrica .
Passo 2
Entender o operador
e como ele age sobre polinómios simples.
- Aqui
é o operador derivada: . Então e . - Para o polinómio
calculemos as derivadas (passo a passo, sem pular etapas):
- Observação:
é constante porque é quadrática.
Passo 3
Aplicar o operador
em
escrevendo cada termo explicitamente.
- Pelo que temos,
- Substituindo
calculados:
Passo 4
Desenvolver os produtos e agrupar termos por potências de
.
- Calcule cada parcela:
- Somando as três parcelas:
- Agora agrupando por potências de
:
- Portanto, de forma simples e muito importante:
- Conclusão imediata: o termo em
anulou-se automaticamente, independentemente de .
Passo 5
Impor que
para todo
e traduzir isso em um sistema de equações lineares.
- Para que o polinómio
seja a função zero para todo , todos os coeficientes das potências de devem ser zero (princípio: dois polinómios iguais em todos os têm coeficientes correspondentes iguais). - Assim obtemos as equações:
- Além disso temos a condição do enunciado:
Passo 6
Resolver o sistema linear obtido.
- Da primeira equação segue:
- A segunda dá:
- Substituindo
e na condição :
- Então
- Recapitulando (a partir das soluções parciais):
. - (Se quiser checar: com esses valores,
e , logo .)