2) (2pts)

Calcule números a, b e c tais que a+b+c=1 e L\left(a x^{2}+b x+c\right)=0, onde L \equiv\left(1-x^{2}\right) D^{2}-2 x D+6.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem-se números a,\;b,\;c tais que a+b+c=1.
  • Além disso esses coeficientes devem satisfazer \;L\big(a x^{2}+b x+c\big)=0\;, onde
L \equiv \left(1-x^{2}\right)D^{2}-2xD+6.
  • Informação útil que está explícita: a função a ser operada é o polinómio p(x)=a x^{2}+b x+c.
  • A tarefa é encontrar a,b,c que satisfaçam simultaneamente a condição linear a+b+c=1 e a equação diferencial algébrica L(p)=0.

Passo 2

Entender o operador L e como ele age sobre polinómios simples.
  • Aqui D é o operador derivada: D=\dfrac{d}{dx}. Então D(p)=p'(x) e D^{2}(p)=p''(x).
  • Para o polinómio p(x)=a x^{2}+b x+c calculemos as derivadas (passo a passo, sem pular etapas):
p(x)=a x^{2}+b x+c.
p'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(a x^{2}+b x+c\big)=2a x + b.
p''(x)=\dfrac{d}{dx}\big(2a x + b\big)=2a.
  • Observação: p''(x) é constante porque p é quadrática.

Passo 3

Aplicar o operador L em p(x) escrevendo cada termo explicitamente.
  • Pelo que temos,
L(p)=\big(1-x^{2}\big)p''(x)-2x p'(x)+6\,p(x).
  • Substituindo p'',\,p',\,p calculados:
L(p)=(1-x^{2})\cdot 2a \;-\; 2x\cdot(2a x + b)\;+\;6\cdot(a x^{2}+b x+c).

Passo 4

Desenvolver os produtos e agrupar termos por potências de x.
  • Calcule cada parcela:
(1-x^{2})\cdot 2a = 2a - 2a x^{2}.
-2x\cdot(2a x + b) = -4a x^{2} - 2b x.
6\cdot(a x^{2}+b x+c)=6a x^{2} + 6b x + 6c.
  • Somando as três parcelas:
L(p) = \big(2a - 2a x^{2}\big) + \big(-4a x^{2} - 2b x\big) + \big(6a x^{2} + 6b x + 6c\big).
  • Agora agrupando por potências de x:
\text{coeficiente de }x^{2}:\\\ -2a -4a +6a = 0.
\text{coeficiente de }x:\\\ -2b + 6b = 4b.
\text{termo constante: } 2a + 6c.
  • Portanto, de forma simples e muito importante:
L(p)=\big(2a+6c\big) \;+\; \big(4b\big)x \;+\; \big(0\big)x^{2}.
  • Conclusão imediata: o termo em x^{2} anulou-se automaticamente, independentemente de a.

Passo 5

Impor que L(p)=0 para todo x e traduzir isso em um sistema de equações lineares.
  • Para que o polinómio L(p) seja a função zero para todo x, todos os coeficientes das potências de x devem ser zero (princípio: dois polinómios iguais em todos os x têm coeficientes correspondentes iguais).
  • Assim obtemos as equações:
4b=0,
2a+6c=0.
  • Além disso temos a condição do enunciado:
a+b+c=1.

Passo 6

Resolver o sistema linear obtido.
  • Da primeira equação segue:
4b=0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
  • A segunda dá:
2a+6c=0 \quad\Rightarrow\quad a+3c=0 \quad\Rightarrow\quad a=-3c.
  • Substituindo b=0 e a=-3c na condição a+b+c=1:
(-3c) + 0 + c = 1 \quad\Rightarrow\quad -2c = 1 \quad\Rightarrow\quad c = -\tfrac{1}{2}.
  • Então
a = -3c = -3\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{3}{2}.
  • Recapitulando (a partir das soluções parciais): a=\tfrac{3}{2},\; b=0,\; c=-\tfrac{1}{2}.
  • (Se quiser checar: com esses valores, 2a+6c=2\cdot\tfrac{3}{2}+6\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=3-3=0 e 4b=0, logo L(p)=0.)

Resposta

a=\tfrac{3}{2}
b=0
c=-\tfrac{1}{2}

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