Questão 03. O estado plano de deformação em um ponto é representado sobre um elemento que tem as componentes \varepsilon_{x}=-300 \times 10^{-6}, \quad \varepsilon_{y}=-100 \times 10^{-6}, \quad \gamma_{x y}=100 \times 10^{-6}. Resolvendo pelo círculo de Mohr, determinar:
a. As deformações principais desse plano e as represente no círculo de Mohr.
b. A deformação cisalhante máxima absoluta. Explique por que ela é a máxima absoluta.

Passo 1

O enunciado dá um estado plano de deformação no ponto com as componentes:
  • \varepsilon_{x}=-300\times10^{-6},
  • \varepsilon_{y}=-100\times10^{-6},
  • \gamma_{xy}=100\times10^{-6}.
O que se pede:
a) Determinar as deformações principais desse plano e representá-las no círculo de Mohr (isto é, indicar o centro do círculo, o raio e onde ficam \varepsilon_1 e \varepsilon_2 no círculo).
b) Determinar a deformação cisalhante máxima absoluta e explicar por que ela é a máxima absoluta.
Dados relevantes a serem usados (já listados acima). A partir daqui vamos aplicar as fórmulas de transformação de deformação e construir o círculo de Mohr passo a passo.

Passo 2

Breve aula sobre o círculo de Mohr para deformações (essa é a parte didática):
  • As transformações de deformação para um elemento plano envolvem as componentes \varepsilon_x,\;\varepsilon_y e a deformação de cisalhamento de engenharia \gamma_{xy}.
  • Para escrever o círculo de Mohr para deformações usa-se como coordenadas o par \big(\varepsilon,\;\tfrac{\gamma}{2}\big). Ou seja, no eixo vertical do círculo plota-se \tfrac{\gamma}{2} e não \gamma. Isso vem da forma das fórmulas de transformação: \varepsilon_n = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} + \frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\cos2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,
\frac{\gamma_{n}}{2} = -\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\sin2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2}\cos2\theta,
onde \theta é o ângulo entre o eixo x e o eixo normal ao plano considerado.
  • O centro do círculo é \varepsilon_\text{m}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}.
  • O raio do círculo é R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.
  • As deformações principais são os pontos do círculo onde o valor de cisalhamento (no eixo vertical \tfrac{\gamma}{2}) é zero; portanto \varepsilon_{1,2}=\varepsilon_\text{m}\pm R.
  • Importante: como o círculo usa \tfrac{\gamma}{2}, a máxima deformação cisalhante de engenharia (valor absoluto) encontrada em qualquer plano é \gamma_{\max}=2R.Isso porque o valor máximo de \tfrac{\gamma}{2} no círculo é R, então \gamma_{\max}=2\cdot R.
  • Também útil para localizar as direções: a orientação das direções principais satisfaz \tan 2\theta_p=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.

Passo 3

Calcular o centro do círculo e os termos intermediários numéricos (faço tudo em notação com \times10^{-6} para ficar claro que são micro-deformações):
  • Centro:
    \varepsilon_\text{m}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\frac{-300\times10^{-6}+(-100)\times10^{-6}}{2}=\frac{-400\times10^{-6}}{2}=-200\times10^{-6}.
  • Metade da diferença:
    \frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{-300\times10^{-6}-(-100)\times10^{-6}}{2}=\frac{-200\times10^{-6}}{2}=-100\times10^{-6}.
  • Metade da deformação de cisalhamento:
    \frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{100\times10^{-6}}{2}=50\times10^{-6}.

Passo 4

Calcular o raio do círculo R passo a passo:
  • Primeiro os quadrados (em unidade de (\text{deformação})^2çã): \left(-100\times10^{-6}\right)^{2}=(100\times10^{-6})^{2}=1{,}00\times10^{-8},
\left(50\times10^{-6}\right)^{2}=(50\times10^{-6})^{2}=2{,}50\times10^{-9}.
  • Soma:
    1{,}00\times10^{-8}+2{,}50\times10^{-9}=1{,}25\times10^{-8}.
  • Raiz quadrada:
    R=\sqrt{1{,}25\times10^{-8}}=\sqrt{1{,}25}\times10^{-4}\approx1{,}1180339887\times10^{-4}=111{,}8033989\times10^{-6}.
Arredondando de forma razoável, tomo R\approx111{,}80\times10^{-6}.

Passo 5

Calcular as deformações principais \varepsilon_1 e \varepsilon_2:
  • \varepsilon_1=\varepsilon_\text{m}+R=-200\times10^{-6}+111{,}8033989\times10^{-6}=-88{,}1966011\times10^{-6}.
    Aproximando: \varepsilon_1\approx-88{,}20\times10^{-6}.
  • \varepsilon_2=\varepsilon_\text{m}-R=-200\times10^{-6}-111{,}8033989\times10^{-6}=-311{,}8033989\times10^{-6}.
    Aproximando: \varepsilon_2\approx-311{,}80\times10^{-6}.
Observação didática: as duas deformações são negativas (compressivas) — a principal menos comprimida é \varepsilon_1 (menos negativa), e a mais comprimida é \varepsilon_2 (mais negativa).

Passo 6

Como representar no círculo de Mohr (instruções e interpretação):
  • O centro do círculo fica em \big(\varepsilon_\text{m},\,0\big)=\big(-200\times10^{-6},\,0\big).
  • O raio é R\approx111{,}80\times10^{-6}.
  • No eixo horizontal (eixo das normais \varepsilon), os pontos das deformações principais ficam em:
    • \varepsilon_1 na coordenada horizontal -88{,}20\times10^{-6} com \tfrac{\gamma}{2}=0,
    • \varepsilon_2 na coordenada horizontal -311{,}80\times10^{-6} com \tfrac{\gamma}{2}=0.
  • No eixo vertical (eixo de \tfrac{\gamma}{2}) o topo do círculo está em \big(-200\times10^{-6},\,R\big) e o fundo em \big(-200\times10^{-6},\,-R\big). Esses pontos correspondem aos planos de máxima deformação cisalhante (ver próximo passo).
Se for útil localizar a orientação das direções principais (não pedida explicitamente, mas ajuda a interpretar o círculo), usa-se
\tan2\theta_p=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}=\frac{100\times10^{-6}}{-200\times10^{-6}}=-\tfrac{1}{2}.
Assim 2\theta_p=\arctan(-0{,}5)\approx-26{,}565^\circ, logo \theta_p\approx-13{,}283^\circ (uma das direções principais; a outra difere por 90^\circ). Isso significa que os eixos principais estão rotacionados cerca de -13{,}3^\circ em relação ao eixo x.

Passo 7

Deformação cisalhante máxima absoluta e explicação por que é máxima:
  • No círculo de Mohr a coordenada vertical é \tfrac{\gamma}{2}. O valor máximo absoluto de \tfrac{\gamma}{2} ao longo do círculo é o próprio raio R. Portanto o máximo absoluto da deformação de cisalhamento de engenharia é \gamma_{\max}=2R.
  • Numericamente: \gamma_{\max}=2\cdot111{,}8033989\times10^{-6}=223{,}6067978\times10^{-6}\approx223{,}61\times10^{-6}.
  • Explicação física/didática curta e clara: o círculo de Mohr mostra, para todas as orientações \theta, os pares \big(\varepsilon_n,\tfrac{\gamma_n}{2}\big). O valor vertical máximo possível numa circunferência é o topo, cuja coordenada vertical é o raio R. Como o eixo vertical do círculo representa \tfrac{\gamma}{2}, o maior valor possível de \gamma (em módulo) é o dobro desse raio. Portanto não existe nenhum plano (nenhuma orientação) com |\gamma| maior do que 2R. Por isso \gamma_{\max}=2R é a máxima absoluta.
  • Observação adicional: as direções onde isso ocorre são planos a 45^\circ das direções principais (ou seja \theta=\theta_p\pm45^\circ), conforme a transformação indica.

Resposta

a) \displaystyle \varepsilon_1\approx-88{,}20\times10^{-6},\qquad \varepsilon_2\approx-311{,}80\times10^{-6}.
Centro do círculo: \displaystyle \varepsilon_\text{m}=-200\times10^{-6}. Raio do círculo: \displaystyle R\approx111{,}80\times10^{-6}.
b) \displaystyle \gamma_{\max}=2R\approx223{,}61\times10^{-6}.

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