Questão 03. O estado plano de deformação em um ponto é representado sobre um elemento que tem as componentes
. Resolvendo pelo círculo de Mohr, determinar:
a. As deformações principais desse plano e as represente no círculo de Mohr.
b. A deformação cisalhante máxima absoluta. Explique por que ela é a máxima absoluta.
a. As deformações principais desse plano e as represente no círculo de Mohr.
b. A deformação cisalhante máxima absoluta. Explique por que ela é a máxima absoluta.
Passo 1
O enunciado dá um estado plano de deformação no ponto com as componentes:
-
, -
, -
.
O que se pede:
a) Determinar as deformações principais desse plano e representá-las no círculo de Mohr (isto é, indicar o centro do círculo, o raio e onde ficam e
no círculo).
b) Determinar a deformação cisalhante máxima absoluta e explicar por que ela é a máxima absoluta.
a) Determinar as deformações principais desse plano e representá-las no círculo de Mohr (isto é, indicar o centro do círculo, o raio e onde ficam
b) Determinar a deformação cisalhante máxima absoluta e explicar por que ela é a máxima absoluta.
Dados relevantes a serem usados (já listados acima). A partir daqui vamos aplicar as fórmulas de transformação de deformação e construir o círculo de Mohr passo a passo.
Passo 2
Breve aula sobre o círculo de Mohr para deformações (essa é a parte didática):
- As transformações de deformação para um elemento plano envolvem as componentes
e a deformação de cisalhamento de engenharia . - Para escrever o círculo de Mohr para deformações usa-se como coordenadas o par
. Ou seja, no eixo vertical do círculo plota-se e não . Isso vem da forma das fórmulas de transformação:
onde
é o ângulo entre o eixo
e o eixo normal ao plano considerado.
- O centro do círculo é
- O raio do círculo é
- As deformações principais são os pontos do círculo onde o valor de cisalhamento (no eixo vertical
) é zero; portanto - Importante: como o círculo usa
, a máxima deformação cisalhante de engenharia (valor absoluto) encontrada em qualquer plano é Isso porque o valor máximo de no círculo é , então . - Também útil para localizar as direções: a orientação das direções principais satisfaz
Passo 3
Calcular o centro do círculo e os termos intermediários numéricos (faço tudo em notação com
para ficar claro que são micro-deformações):
-
Centro:
-
Metade da diferença:
-
Metade da deformação de cisalhamento:
Passo 4
Calcular o raio do círculo
passo a passo:
- Primeiro os quadrados (em unidade de
):
-
Soma:
-
Raiz quadrada:
Arredondando de forma razoável, tomo
.
Passo 5
Calcular as deformações principais
e
:
-
Aproximando: -
Aproximando:
Observação didática: as duas deformações são negativas (compressivas) — a principal menos comprimida é
(menos negativa), e a mais comprimida é
(mais negativa).
Passo 6
Como representar no círculo de Mohr (instruções e interpretação):
- O centro do círculo fica em
. - O raio é
. - No eixo horizontal (eixo das normais
), os pontos das deformações principais ficam em: -
na coordenada horizontal com , -
na coordenada horizontal com .
-
- No eixo vertical (eixo de
) o topo do círculo está em e o fundo em . Esses pontos correspondem aos planos de máxima deformação cisalhante (ver próximo passo).
Se for útil localizar a orientação das direções principais (não pedida explicitamente, mas ajuda a interpretar o círculo), usa-se
Assim
, logo
(uma das direções principais; a outra difere por
). Isso significa que os eixos principais estão rotacionados cerca de
em relação ao eixo
.
Passo 7
Deformação cisalhante máxima absoluta e explicação por que é máxima:
- No círculo de Mohr a coordenada vertical é
. O valor máximo absoluto de ao longo do círculo é o próprio raio . Portanto o máximo absoluto da deformação de cisalhamento de engenharia é - Numericamente:
- Explicação física/didática curta e clara: o círculo de Mohr mostra, para todas as orientações
, os pares . O valor vertical máximo possível numa circunferência é o topo, cuja coordenada vertical é o raio . Como o eixo vertical do círculo representa , o maior valor possível de (em módulo) é o dobro desse raio. Portanto não existe nenhum plano (nenhuma orientação) com maior do que . Por isso é a máxima absoluta. - Observação adicional: as direções onde isso ocorre são planos a
das direções principais (ou seja ), conforme a transformação indica.
Resposta
a)
Centro do círculo: Raio do círculo:
Centro do círculo:
b)