3.Seja a equação diferencial de segunda ordem dada por:
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0, \quad x>0
a)Mostre que as funções y_{1}(x)=x^{-1} e y_{2}(x)=x^{-1} \ln (x) são soluções da EDO.
b)Calcule o Wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)(x) dessas soluções.
c)Utilizando o resultado do Wronskiano e os teoremas de linearidade,prove que \left\{y_{1}, y_{2}\right\} forma um conjunto fundamental de soluções para essa EDO no intervalo (0,+\infty) e escreva a sua solução geral.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver nada ainda).
Enunciado: a equação diferencial de segunda ordem
x^{2}y''+3x y'+y=0,\qquad x>0.
Funções fornecidas para verificar:
y_{1}(x)=x^{-1},\qquad y_{2}(x)=x^{-1}\ln(x).
O enunciado faz três perguntas:
(a) Mostrar que y_{1} e y_{2} são soluções da EDO.
(b) Calcular o Wronskiano W\!\left(y_{1},y_{2}\right)(x).
(c) Usando o Wronskiano e os teoremas de linearidade, provar que \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções no intervalo (0,+\infty) e escrever a solução geral da EDO.
Passo seguinte: vou verificar (a) calculando derivadas e substituindo na EDO; depois calculo o Wronskiano e uso o resultado para responder (c).
Passo 2
Verificação de que y_{1}(x)=x^{-1} é solução. Primeiro calculo as derivadas (aqui uso a regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
y_{1}(x)=x^{-1}.
y_{1}'(x)=(-1)x^{-2}=-x^{-2}.
y_{1}''(x)=(-1)(-2)x^{-3}=2x^{-3}.
Agora substituo na equação diferencial. Lembre que a EDO é
Para x>0 temos x^{-3}\neq 0, então o Wronskiano é não nulo em todo o intervalo (0,+\infty).]
Passo 5
Interpretação do Wronskiano e conclusão sobre independência linear e conjunto fundamental.
Teorema usado (versão prática): se duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem têm Wronskiano não nulo em algum ponto do intervalo (na verdade se o Wronskiano não é identicamente zero no intervalo), então essas soluções são linearmente independentes nesse intervalo. Como W(x)=x^{-3} é contínuo e não zero para todo x>0, concluímos que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em (0,+\infty).
Explicação rápida e concreta do porquê (sem formalismo pesado): se existissem constantes C_{1},C_{2}, não simultaneamente zero, com C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}\equiv 0 no intervalo, então avaliando essa identidade e sua derivada num mesmo ponto obteríamos um sistema linear para C_{1},C_{2} cuja matriz tem determinante igual ao Wronskiano nesse ponto; como o determinante é diferente de zero, o único par (C_{1},C_{2}) que satisfaz é o trivial C_{1}=C_{2}=0. Logo são linearmente independentes.
Sendo duas soluções linearmente independentes de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, elas formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo considerado.
Por fim, a solução geral é a combinação linear das duas soluções fundamentais: existem constantes arbitrárias C_{1},C_{2} tais que
e ao comparar com o cálculo explícito obtemos C=1. Isso confirma o cálculo direto e é um caminho alternativo para obter W(x).
Resposta
(a) y_{1}(x)=x^{-1} e y_{2}(x)=x^{-1}\ln(x) são soluções da EDO para x>0.
(b) W\!\left(y_{1},y_{2}\right)(x)=x^{-3}.
(c) Como W(x)=x^{-3}\neq 0 em (0,+\infty), \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções; a solução geral é \displaystyle y(x)=C_{1}x^{-1}+C_{2}x^{-1}\ln x,\; C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.