3.Seja a equação diferencial de segunda ordem dada por:
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0, \quad x>0
a)Mostre que as funções y_{1}(x)=x^{-1} e y_{2}(x)=x^{-1} \ln (x) são soluções da EDO.
b)Calcule o Wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)(x) dessas soluções.
c)Utilizando o resultado do Wronskiano e os teoremas de linearidade,prove que \left\{y_{1}, y_{2}\right\} forma um conjunto fundamental de soluções para essa EDO no intervalo (0,+\infty) e escreva a sua solução geral.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver nada ainda).
  • Enunciado: a equação diferencial de segunda ordem
x^{2}y''+3x y'+y=0,\qquad x>0.
  • Funções fornecidas para verificar:
y_{1}(x)=x^{-1},\qquad y_{2}(x)=x^{-1}\ln(x).
O enunciado faz três perguntas:
(a) Mostrar que y_{1} e y_{2} são soluções da EDO.
(b) Calcular o Wronskiano W\!\left(y_{1},y_{2}\right)(x).
(c) Usando o Wronskiano e os teoremas de linearidade, provar que \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções no intervalo (0,+\infty) e escrever a solução geral da EDO.
Passo seguinte: vou verificar (a) calculando derivadas e substituindo na EDO; depois calculo o Wronskiano e uso o resultado para responder (c).

Passo 2

Verificação de que y_{1}(x)=x^{-1} é solução. Primeiro calculo as derivadas (aqui uso a regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
y_{1}(x)=x^{-1}.
y_{1}'(x)=(-1)x^{-2}=-x^{-2}.
y_{1}''(x)=(-1)(-2)x^{-3}=2x^{-3}.
Agora substituo na equação diferencial. Lembre que a EDO é
x^{2}y''+3x y'+y=0.
Substituindo:
x^{2}\cdot(2x^{-3})+3x\cdot(-x^{-2})+x^{-1}.
Calculo termo a termo:
x^{2}\cdot 2x^{-3}=2x^{-1}, \qquad 3x\cdot(-x^{-2})=-3x^{-1}, \qquad x^{-1}=x^{-1}.
Somando:
2x^{-1}-3x^{-1}+x^{-1}=0.
Portanto a substituição satisfaz a EDO e y_{1}(x)=x^{-1} é de fato uma solução para x>0.

Passo 3

Verificação de que y_{2}(x)=x^{-1}\ln(x) é solução. Vou calcular derivadas usando regra do produto e regra da cadeia.
Primeiro escrevo
y_{2}(x)=x^{-1}\ln(x).
Derivada usando produto: (uv)'=u'v+uv'.
u(x)=x^{-1}\Rightarrow u'(x)=-x^{-2},\qquad v(x)=\ln(x)\Rightarrow v'(x)=\frac{1}{x}.
Logo
y_{2}'(x)=(-x^{-2})\ln(x)+x^{-1}\cdot\frac{1}{x}=-x^{-2}\ln(x)+x^{-2}=x^{-2}(1-\ln(x)).
Agora a segunda derivada: derivo y_{2}'(x)=x^{-2}(1-\ln x). Novamente uso produto (aqui 1-\ln x é função simples):
\frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3},\qquad \frac{d}{dx}(1-\ln x)=-\frac{1}{x}.
Aplicando:
y_{2}''(x)=(-2x^{-3})(1-\ln x)+x^{-2}\left(-\frac{1}{x}\right).
Simplifico:
y_{2}''(x)=-2x^{-3}(1-\ln x)-x^{-3}=x^{-3}\big(-2(1-\ln x)-1\big).
y_{2}''(x)=x^{-3}(2\ln x-3).
Agora substituo na EDO:
x^{2}y_{2}''+3x y_{2}'+y_{2} = x^{2}\cdot x^{-3}(2\ln x-3) +3x\cdot x^{-2}(1-\ln x) +x^{-1}\ln x.
Simplifico cada termo (fator comum x^{-1}):
x^{2}\cdot x^{-3}(2\ln x-3)=x^{-1}(2\ln x-3),
3x\cdot x^{-2}(1-\ln x)=3x^{-1}(1-\ln x),
x^{-1}\ln x = x^{-1}\ln x.
Somando os coeficientes dentro de x^{-1}:
(2\ln x-3)+3(1-\ln x)+\ln x =2\ln x-3+3-3\ln x+\ln x =(2\ln x-3\ln x+\ln x)+(-3+3)=0.
Logo a soma é zero, e assim y_{2}(x)=x^{-1}\ln x satisfaz a EDO para x>0.

Passo 4

Cálculo do Wronskiano W(y_{1},y_{2})(x). Definição do Wronskiano para duas funções y_{1},y_{2}:
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix} = y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{1}'(x)\,y_{2}(x).
Já calculamos as derivadas antes:
y_{1}(x)=x^{-1},\quad y_{1}'(x)=-x^{-2},
y_{2}(x)=x^{-1}\ln x,\quad y_{2}'(x)=x^{-2}(1-\ln x).
Agora substituo na fórmula do Wronskiano:
W(x)=x^{-1}\cdot x^{-2}(1-\ln x)-(-x^{-2})\cdot x^{-1}\ln x.
Simplifico fatorando x^{-3}:
W(x)=x^{-3}\big(1-\ln x + \ln x\big)=x^{-3}.
Portanto
W\!\left(y_{1},y_{2}\right)(x)=x^{-3}.
Para x>0 temos x^{-3}\neq 0, então o Wronskiano é não nulo em todo o intervalo (0,+\infty).]

Passo 5

Interpretação do Wronskiano e conclusão sobre independência linear e conjunto fundamental.
Teorema usado (versão prática): se duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem têm Wronskiano não nulo em algum ponto do intervalo (na verdade se o Wronskiano não é identicamente zero no intervalo), então essas soluções são linearmente independentes nesse intervalo. Como W(x)=x^{-3} é contínuo e não zero para todo x>0, concluímos que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em (0,+\infty).
Explicação rápida e concreta do porquê (sem formalismo pesado): se existissem constantes C_{1},C_{2}, não simultaneamente zero, com C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}\equiv 0 no intervalo, então avaliando essa identidade e sua derivada num mesmo ponto obteríamos um sistema linear para C_{1},C_{2} cuja matriz tem determinante igual ao Wronskiano nesse ponto; como o determinante é diferente de zero, o único par (C_{1},C_{2}) que satisfaz é o trivial C_{1}=C_{2}=0. Logo são linearmente independentes.
Sendo duas soluções linearmente independentes de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, elas formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo considerado.
Por fim, a solução geral é a combinação linear das duas soluções fundamentais: existem constantes arbitrárias C_{1},C_{2} tais que
y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)=C_{1}x^{-1}+C_{2}x^{-1}\ln x, \qquad x>0.

Passo 6

Comentário extra (útil para prova): pela forma padrão da EDO, dividindo por x^{2} obtemos
y''+\frac{3}{x}y'+\frac{1}{x^{2}}y=0.
Pela fórmula de Abel, o Wronskiano satisfaz
W(x)=C\exp\!\Big(-\int \frac{3}{x}\,dx\Big)=C x^{-3},
e ao comparar com o cálculo explícito obtemos C=1. Isso confirma o cálculo direto e é um caminho alternativo para obter W(x).

Resposta

(a) y_{1}(x)=x^{-1} e y_{2}(x)=x^{-1}\ln(x) são soluções da EDO para x>0.
(b) W\!\left(y_{1},y_{2}\right)(x)=x^{-3}.
(c) Como W(x)=x^{-3}\neq 0 em (0,+\infty), \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções; a solução geral é \displaystyle y(x)=C_{1}x^{-1}+C_{2}x^{-1}\ln x,\; C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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