Para cada funçāo abaixo, determine:
  • o domínio
  • a derivada f^{\prime}(x)
  • os pontos críticos
  • o sinal de f^{\prime}(x) (com esquema na reta real)
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente
  • a classificaçāo dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text {a }} derivada
    (e) f(x)=\arctan (x)-x

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=\arctan(x)-x, que determinemos:
  • o domínio de f;
  • a derivada f'(x);
  • os pontos críticos (pontos onde f'(x)=0 ou f' é indefinida);
  • o sinal de f'(x) com um esquema na reta real;
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente;
  • a classificação dos pontos críticos usando o teste da 1ª derivada.
Informação dada: a função é f(x)=\arctan(x)-x. Não há outras hipóteses ou restrições no enunciado.

Passo 2

Determinar o domínio.
A função \arctan(x) (arco-tangente) está definida para todo x\in\mathbb{R}. A função x também está definida para todo x\in\mathbb{R}. Como f é a diferença dessas duas funções, f está definida para todo real.
Portanto o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right).
Breve explicação (didática): a arctan não tem “buracos” — ela aceita qualquer número real e devolve um ângulo entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}. Subtrair x não cria novas restrições.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) e explicar as regras usadas.
Regras usadas:
  • Derivada de \arctan(x) é \dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. (Esta é uma fórmula padrão: vem da derivada da função inversa tangente.)
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada da diferença é a diferença das derivadas.
Aplicando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)-\frac{d}{dx}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-1.
Podemos simplificar a expressão para uma forma mais clara:
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-1=\frac{1-(1+x^{2})}{1+x^{2}}=\frac{-x^{2}}{1+x^{2}}.
Observação didática: escrevemos a derivada em forma de fração para facilitar o estudo do sinal: o numerador é -x^{2} e o denominador é 1+x^{2}.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos.
Definição lembrada: pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou onde f' é indefinida.
Aqui f'(x)=\dfrac{-x^{2}}{1+x^{2}}. O denominador 1+x^{2}>0 para todo x\in\mathbb{R}, logo f' está definida em toda a reta real. Portanto não há pontos de indefinição.
Resolver f'(x)=0:
\frac{-x^{2}}{1+x^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0.
Assim há um único ponto crítico: x=0.

Passo 5

Estudar o sinal de f'(x) (com explicação e esquema).
Escrevemos novamente
f'(x)=\frac{-x^{2}}{1+x^{2}}.
Analisar numerador e denominador separadamente:
  • Denominador 1+x^{2}>0 para todo x.
  • Numerador -x^{2}\le 0 para todo x, e é igual a 0 apenas em x=0; para x\neq0 temos -x^{2}<0.
Conclusão do sinal:
  • Para x<0: f'(x)<0.
  • Em x=0: f'(0)=0.
  • Para x>0: f'(x)<0.
Esquema na reta real (texto):
(-\infty)\\ \\ \xrightarrow{\\ \\ f'(x)<0\\ }\\ \\\ 0\\ \\ \xrightarrow{\\ \\ f'(x)<0\\ }\\ \\ (+\infty).
Ou em palavras: f'(x) é negativo para todo x\neq 0 e zero em x=0.
Didática rápida: como o numerador é -x^2, que é sempre negativo ou zero, e o denominador é sempre positivo, o sinal é dominado por -x^2.

Passo 6

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Definição lembrete: onde f'(x)>0 a função é crescente; onde f'(x)<0 a função é decrescente.
Como vimos, f'(x)>0 não ocorre para nenhum x. Já f'(x)<0 ocorre para todo x\neq 0. Portanto:
  • f não é crescente em nenhum intervalo não-trivial.
  • f é decrescente em (-\infty,0) e em (0,\infty).
Comentário sobre monotonicidade global: apesar de f'(0)=0, a função é estritamente decrescente em toda a reta real — a presença de um único ponto onde a derivada é zero não impede a decrescência estrita globalmente. Em provas costuma-se aceitar a resposta “decrescente em (-\infty,0) e em (0,\infty)” e observar que isso implica que f é decrescente em \mathbb{R} (estritamente decrescente, pois entre quaisquer x_1<x_2 tem-se f(x_1)>f(x_2)).

Passo 7

Classificar o ponto crítico x=0 usando o teste da 1ª derivada.
O teste da 1ª derivada diz: olhe o sinal de f' à esquerda e à direita do ponto crítico.
  • À esquerda de 0 temos f'<0.
  • À direita de 0 temos f'<0.
Como o sinal não muda (negativo \to negativo), não há mudança de crescimento/decrescimento em x=0. Logo x=0 NÃO é nem máximo local nem mínimo local.
Comentário adicional (útil na prova): às vezes se pergunta que tipo de ponto é — aqui é um ponto estacionário sem extremum. Podemos ainda verificar concavidade para ver se é ponto de inflexão: calcular f''(x).
Cálculo rápido de f''(x) (opcional, só para entender a natureza do ponto):
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-1 \quad\Rightarrow\quad f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)=-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Temos f''(0)=0. Para x<0 nota-se f''(x)>0 (côncavo para cima) e para x>0 f''(x)<0 (côncavo para baixo). Isso indica mudança de concavidade em x=0, ou seja, x=0 é um ponto de inflexão com derivada zero. Mas atenção: a classificação pedida era via teste da 1ª derivada, que conclui “nem máximo nem mínimo”.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right)
Derivada: f'(x)=\dfrac{-x^{2}}{1+x^{2}}=\dfrac{1}{1+x^{2}}-1
Pontos críticos: x=0
Sinal de f'(x): f'(x)<0 para x<0; f'(0)=0; f'(x)<0 para x>0
Intervalos de crescimento/decrescimento: f não é crescente em nenhum intervalo; f é decrescente em (-\infty,0) e em (0,\infty) (portanto decrescente em \mathbb{R})
Classificação pelo teste da 1ª derivada: x=0 não é máximo nem mínimo local (derivada não muda de sinal).

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