1.Um bloco de massa m=1 \mathrm{~kg} é preso a uma mola de constante elástica k=5 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e imerso em um fluido que oferece uma força de resistência proporcional à velocidade,com constante de amortecimento b=2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} .No instante t=0 ,o bloco é puxado para baixo,afastando-se 0.5 metros da posição de equilíbrio,e é lançado para cima com uma velocidade inicial de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
a)Modele o Problema de Valor Inicial(PVI)que descreve o movimento do bloco,considerando a orientação para baixo como o sentido positivo.
b)Determine a equação do movimento x(t) e classifique o tipo de amortecimento do sistema.
c)Encontre o primeiro instante de tempo t>0 em que o bloco passa pela posição de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado nos dá um bloco ligado a uma mola e com amortecimento linear. Vou listar claramente o que foi pedido e os dados fornecidos (tudo pegado do enunciado):
  • Dados:
    • massa: m=1\\ \mathrm{kg}.
    • constante elástica da mola: k=5\\ \mathrm{N/m}.
    • coeficiente de amortecimento (força proporcional à velocidade): b=2\\ \mathrm{kg/s}.
    • orientação: para baixo é sentido positivo.
    • em t=0 o bloco está deslocado 0,5\\ \mathrm{m} para baixo da posição de equilíbrio.
    • em t=0 a velocidade inicial é 2\\ \mathrm{m/s} para cima.
  • Observação importante sobre o sinal da velocidade inicial: como escolhemos o sentido positivo para baixo, uma velocidade para cima tem sinal negativo. Logo a condição de velocidade inicial será x'(0)=-2\\ \mathrm{m/s}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Modelar o problema de valor inicial (PVI) que descreve o movimento, com a orientação dada.
    (b) Determinar a equação do movimento x(t) e classificar o tipo de amortecimento.
    (c) Encontrar o primeiro instante t>0 em que o bloco passa pela posição de equilíbrio.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Montar a equação diferencial que descreve o movimento (o PVI).
Explicação física e escolha do sinal:
  • Forças atuantes (no eixo vertical com x medido para baixo): força elástica da mola para cima é -k x (possuindo sinal contrário ao deslocamento), força de amortecimento é proporcional e oposta à velocidade: -b x'. A equação de movimento pela 2ª lei de Newton é
m x'' = -b x' - k x.
  • Reorganizando para forma padrão de equação linear,
m x'' + b x' + k x = 0.
Substituindo os valores numéricos ( m=1, b=2, k=5):
x'' + 2 x' + 5 x = 0.
Condições iniciais (explicadas antes): deslocamento inicial para baixo de 0,5\\ \mathrm{m} e velocidade inicial para cima de 2\\ \mathrm{m/s} (logo negativa):
x(0)=0,5,\qquad x'(0)=-2.
Portanto o PVI pedido é:
\begin{cases} x'' + 2 x' + 5 x = 0,\\[4pt] x(0)=0,5,\\[4pt] x'(0)=-2. \end{cases}]

Passo 3

Resolver a equação diferencial homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes: método do polinômio característico.
Teoria rápida e didática:
  • Para uma equação homogênea x'' + 2 x' + 5 x = 0 a técnica padrão é tentar soluções da forma x(t)=e^{r t}. Substituindo obtém-se a equação característica em r:
r^2 + 2 r + 5 = 0.
  • Resolver a equação quadrática: as raízes são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2\mathrm{i}.
  • Como as raízes são complexas conjugadas r=-1\pm2\mathrm{i}, a solução geral é uma oscilação amortecida:
x(t) = e^{-t}\big(A\cos 2t + B\sin 2t\big),
onde A e B são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Comentário sobre classificação do amortecimento (a ser explicitado depois): raízes complexas com parte real negativa indicam amortecimento subcrítico (subamortecido) — há oscilações que decaem exponencialmente.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para encontrar A e B.
Primeiro, usar x(0)=0,5. Avaliando x em t=0:
x(0) = e^{0}\big(A\cos 0 + B\sin 0\big) = A \cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Logo
A=0,5.
Agora calcular x'(t) e aplicar x'(0)=-2.
Derivada passo a passo (faça assim na prova para não errar):
x(t)=e^{-t}\big(A\cos 2t + B\sin 2t\big).
Use regra do produto: seja u=e^{-t} e v=A\cos 2t + B\sin 2t. Então
x' = u'v + u v'.
  • u'=-e^{-t}.
  • v' = -2A\sin 2t + 2B\cos 2t.
Portanto
x'(t)=e^{-t}\big(-A\cos 2t - B\sin 2t -2A\sin 2t + 2B\cos 2t\big).
Agrupando os termos de \cos 2t e \sin 2t:
x'(t)=e^{-t}\Big[(-A+2B)\cos 2t +(-B-2A)\sin 2t\Big].
Agora aplicar t=0 (note e^{0}=1,\\ \cos 0=1,\\ \sin 0=0):
x'(0)=(-A+2B)= -2.
Substituindo A=0,5:
-0,5 + 2B = -2 \quad\Rightarrow\quad 2B = -1,5 \quad\Rightarrow\quad B=-0,75.

Passo 5

Escrever a solução completa x(t) com os coeficientes encontrados e comentar a forma física.
Substituindo A e B em
x(t)=e^{-t}\big(A\cos 2t + B\sin 2t\big),
obtemos
x(t)=e^{-t}\big(0,5\cos 2t - 0,75\sin 2t\big).
Interpretação curta e motivadora: essa expressão mostra uma oscilação de frequência angular 2\\ \mathrm{rad/s} (período aproximado T=\pi segundos), multiplicada por um fator exponencial e^{-t} que faz a amplitude decair com tempo (amortecimento). Como as partes reais das raízes são -1, a envoltória decai como e^{-t}.

Passo 6

Classificação do amortecimento.
Relembrando:
  • Se o discriminante b^2-4mk for negativo => raízes complexas => subamortecido (underdamped) => oscilações amortecidas.
  • Aqui b^2-4mk = 2^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4-20=-16 <0.
Logo o sistema é subamortecido (ou “amortecimento sobressalente/ subcrítico” / “subamortecido”): há oscilações que diminuem exponencialmente com o tempo.

Passo 7

Determinar o primeiro instante t>0 em que o bloco passa pela posição de equilíbrio.
Queremos o menor t>0 tal que x(t)=0. Da expressão encontrada:
x(t)=e^{-t}\big(0,5\cos 2t - 0,75\sin 2t\big)=0.
Como e^{-t}>0 para todo t, podemos dividir por e^{-t} sem problemas. Então a condição é
0,5\cos 2t - 0,75\sin 2t = 0.
Isolando,
0,5\cos 2t = 0,75\sin 2t \quad\Rightarrow\quad \tan 2t = \frac{0,5}{0,75} = \frac{2}{3}.
Logo as soluções gerais para 2t são
2t = \arctan\!\big(\tfrac{2}{3}\big) + n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Para obter o primeiro instante positivo, tomamos n=0 e obtemos
t = \tfrac{1}{2}\arctan\!\big(\tfrac{2}{3}\big).
Valor numérico aproximado (para checar na prova): \arctan(2/3)\approx 0,5880\\ \mathrm{rad}, então
t \approx 0,294\\ \mathrm{s}.
Esse é o primeiro instante t>0 em que o bloco passa pela posição de equilíbrio (passando da posição inicial para cima, cruza o ponto x=0 nesse tempo).

Resposta

(a) \displaystyle \begin{cases}x''+2x'+5x=0,\\[4pt]x(0)=0,5,\\[4pt]x'(0)=-2.\end{cases}
(b) \displaystyle x(t)=e^{-t}\big(0,5\cos 2t-0,75\sin 2t\big) ; subamortecido (underdamped).
(c) \displaystyle t=\tfrac{1}{2}\arctan\!\big(\tfrac{2}{3}\big)\approx 0,294\\ \mathrm{s}.]

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