[4] [2.5 pontos] Considere o sistema linear a seguir: lx-2 y=1 x-y+a z=2 a y+9 z=3
(a) Use determinantes para encontrar os valores de a de modo que o sistema possua uma ún (Justifique todos os passos.)
(b) Considerando a=0, resolva o sistema por Cramer. (Justifique todos os passos.)

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com parâmetro
Precisamos usar determinantes para (a) achar os valores de resolver o sistema pela Regra de Cramer, justificando cada passo.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
e calculamos seu determinante . Pela regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha:

Passo 3

Calculando cada menor:
Logo
Para ter solução única é preciso , ou seja

Passo 4

Agora fazemos a=0. O sistema fica
x - 2y = 1, x - y = 2, 9z = 3
A matriz de coeficientes é
A = 1 & -2 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 9 ,
portanto
De<a = det(A) = 1cdot(-1cdot9 - 0) -(-2)cdot(1cdot9 - 0) = -9 +18 = 9

Passo 5

Pela Regra de Cramer definimos
x = De<axDe<a, y = De<ayDe<a, z = De<azDe<a,
onde De<ax,De<ay,De<az vêm de substituir, na matriz A, cada coluna pela coluna dos termos independentes ,(1,2,3). Essas matrizes são:
Ax = 1 & -2 & 0 2 & -1 & 0 3 & 0 & 9 , Ay = 1 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 3 & 9 , Az = 1 & -2 & 1 1 & -1 & 2 0 & 0 & 3

Passo 6

Calculamos os determinantes:
De<ax = 27, De<ay = 9, De<az = 3
Então
x = 279 = 3, y = 99 = 1, z = 39 = tfrac13

Resposta

(a) O sistema tem solução única se and somente se aneq 3 e aneq -3.
(b) Para a=0, a solução é
(x,y,z) = l(3,,1,,tfrac13r)

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