Use a derivada logarítmical para achar a derivada da funçāo.
y=\ln \left(x^{2}-3 x+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=\ln\left(x^{2}-3x+1\right)\; e pede para achar a sua derivada \dfrac{dy}{dx}.\n
Informações relevantes fornecidas:
\;y=\ln\big(u(x)\big) com \;u(x)=x^{2}-3x+1.\n
O objetivo é aplicar a derivação (usando a derivada logarítmica indicada) para encontrar \;y' em termos de x.

Passo 2

Entendendo a regra que vamos usar: se \;y=\ln\big(u(x)\big), então a derivada de \;y em relação a x é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicação didática: a função \ln(t) tem derivada \dfrac{d}{dt}\ln(t)=\dfrac{1}{t}. Quando temos \ln\big(u(x)\big) com u dependendo de x, aplicamos a regra da cadeia: derivada de \ln em relação a u vezes derivada de u em relação a x. Ou seja, primeiro derivamos a parte externa \ln obtendo \dfrac{1}{u(x)}, e depois multiplicamos por u'(x). Isso resulta em \dfrac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Identificamos a parte interna u(x) da função logarítmica:
u(x)=x^{2}-3x+1.
Agora vamos derivar u(x) termo a termo. Lembre que:
  • a derivada de \;x^{2} é \;2x;
  • a derivada de \;-3x é -3;
  • a derivada de \;1 é 0.\n
    Portanto,
u'(x)=2x-3.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo composta, substituindo u(x) e u'(x):
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x-3}{x^{2}-3x+1}.
Aqui fizemos apenas a substituição direta: no numerador colocamos u'(x)=2x-3 e no denominador u(x)=x^{2}-3x+1.

Passo 5

Observação sobre domínio (importante na hora da prova): a função original \;y=\ln\big(x^{2}-3x+1\big) está definida somente quando \;x^{2}-3x+1>0, porque não existe \ln de número não positivo. A expressão da derivada \dfrac{2x-3}{x^{2}-3x+1} vale para os x em que a função original está definida (ou seja, onde o denominador é positivo). Em pontos onde x^{2}-3x+1\le 0 a função \ln não existe e, portanto, a derivada não faz sentido ali.

Passo 6

Exemplo rápido extra para fixar a ideia: se \;y=\ln(x^{3}), então u(x)=x^{3}, u'(x)=3x^{2} e
y'=\frac{3x^{2}}{x^{3}}=\frac{3}{x},
o que confirma a regra \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u} em um caso simples.

Resposta

y'=\frac{2x-3}{x^{2}-3x+1}

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