Use a derivada logarítmical para achar a derivada da funçāo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para achar a sua derivada
.\n
Informações relevantes fornecidas:
com
.\n
O objetivo é aplicar a derivação (usando a derivada logarítmica indicada) para encontrar em termos de
.
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo é aplicar a derivação (usando a derivada logarítmica indicada) para encontrar
Passo 2
Entendendo a regra que vamos usar: se
, então a derivada de
em relação a
é dada por
Explicação didática: a função
tem derivada
. Quando temos
com
dependendo de
, aplicamos a regra da cadeia: derivada de
em relação a
vezes derivada de
em relação a
. Ou seja, primeiro derivamos a parte externa
obtendo
, e depois multiplicamos por
. Isso resulta em
.
Passo 3
Identificamos a parte interna
da função logarítmica:
Agora vamos derivar
termo a termo. Lembre que:
- a derivada de
é ; - a derivada de
é ; - a derivada de
é .\n
Portanto,
Passo 4
Aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo composta, substituindo
e
:
Aqui fizemos apenas a substituição direta: no numerador colocamos
e no denominador
.
Passo 5
Observação sobre domínio (importante na hora da prova): a função original
está definida somente quando
, porque não existe
de número não positivo. A expressão da derivada
vale para os
em que a função original está definida (ou seja, onde o denominador é positivo). Em pontos onde
a função
não existe e, portanto, a derivada não faz sentido ali.
Passo 6
Exemplo rápido extra para fixar a ideia: se
, então
,
e
o que confirma a regra
em um caso simples.