[4 Pontos] Calcule as derivadas das seguintes funçōes.
g(x)=\operatorname{tg}(x) e^{x} \sqrt{x+1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
g(x)=\operatorname{tg}(x)\,e^{x}\,\sqrt{x+1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é produto de três fatores: \operatorname{tg}(x), e^{x} e \sqrt{x+1}.
  • Domínio típico onde a função está definida: x>-1 e x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi (com k\in\mathbb{Z}), por causa de \sqrt{x+1} e de \operatorname{tg}x.
  • Objetivo: encontrar g'(x), a derivada de g.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra do produto para três fatores: se u(x), v(x) e w(x) são diferenciáveis, então
\bigl(u v w\bigr)' = u' v w + u v' w + u v w'.
Isto é, derivamos um fator por vez e mantemos os outros dois como estão, somando os três resultados.
  • Derivadas básicas necessárias:
    • A derivada de \operatorname{tg}x é
    (\operatorname{tg}x)'=\operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}.Explicação curta: \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}; derivando usando quociente chega-se a \operatorname{sec}^{2}x.
    • A derivada de e^{x} é
    (e^{x})' = e^{x}.Explicação: e^{x} é sua própria derivada.
    • A derivada de \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2} usa a regra da cadeia. Se h(x)=(x+1)^{1/2}, então
    h'(x)=\tfrac{1}{2}(x+1)^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}.Explicação: derivada de t^{1/2} é \tfrac{1}{2}t^{-1/2} e multiplicamos pela derivada interna (x+1)', que vale 1.

Passo 3

Identificamos os fatores e calculamos suas derivadas individuais:
  • Seja u(x)=\operatorname{tg}x. Então
u'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.
  • Seja v(x)=e^{x}. Então
v'(x)=e^{x}.
  • Seja w(x)=\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}. Então
w'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto para os três fatores:
g'(x)=u' v w + u v' w + u v w'.
Substituindo u,v,w e suas derivadas:
g'(x)=\operatorname{sec}^{2}x\;e^{x}\;\sqrt{x+1} +\operatorname{tg}x\;e^{x}\;\sqrt{x+1} +\operatorname{tg}x\;e^{x}\;\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}.

Passo 5

Vamos organizar e simplificar essa expressão. Primeiro, fator comum e^{x}:
g'(x)=e^{x}\Bigl(\operatorname{sec}^{2}x\,\sqrt{x+1} +\operatorname{tg}x\,\sqrt{x+1} +\operatorname{tg}x\,\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\Bigr).
Agora somamos os dois últimos termos que têm \operatorname{tg}x. Colocando esses dois sobre o mesmo denominador 2\sqrt{x+1}:
\operatorname{tg}x\,\sqrt{x+1} +\operatorname{tg}x\,\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} =\operatorname{tg}x\left(\dfrac{2(x+1)}{2\sqrt{x+1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\right).
No numerador: 2(x+1)+1=2x+3. Logo
\operatorname{tg}x\,\sqrt{x+1} +\operatorname{tg}x\,\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} =\operatorname{tg}x\,\dfrac{2x+3}{2\sqrt{x+1}}.

Passo 6

Substituindo essa soma de volta na expressão com e^{x}, obtemos a forma simplificada final:
g'(x)=e^{x}\!\left(\operatorname{sec}^{2}x\,\sqrt{x+1} +\operatorname{tg}x\,\dfrac{2x+3}{2\sqrt{x+1}}\right).
Esta é uma forma limpa e prática para escrever a derivada; você pode também deixar expandida em três termos como no Passo 4, ambas estão corretas.

Resposta

g'(x)=e^{x}\!\left(\operatorname{sec}^{2}x\,\sqrt{x+1} +\operatorname{tg}x\,\dfrac{2x+3}{2\sqrt{x+1}}\right)

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