[4 Pontos] Calcule as derivadas das seguintes funçōes.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é produto de três fatores:
, e . - Domínio típico onde a função está definida:
e (com ), por causa de e de . - Objetivo: encontrar
, a derivada de .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação didática):
- Regra do produto para três fatores: se
, e são diferenciáveis, então
Isto é, derivamos um fator por vez e mantemos os outros dois como estão, somando os três resultados.
- Derivadas básicas necessárias:
- A derivada de
é
Explicação curta: ; derivando usando quociente chega-se a . - A derivada de
é
Explicação: é sua própria derivada. - A derivada de
usa a regra da cadeia. Se , então
Explicação: derivada de é e multiplicamos pela derivada interna , que vale . - A derivada de
Passo 3
Identificamos os fatores e calculamos suas derivadas individuais:
- Seja
. Então
- Seja
. Então
- Seja
. Então
Passo 4
Aplicamos a regra do produto para os três fatores:
Substituindo
e suas derivadas:
Passo 5
Vamos organizar e simplificar essa expressão. Primeiro, fator comum
:
Agora somamos os dois últimos termos que têm
. Colocando esses dois sobre o mesmo denominador
:
No numerador:
. Logo
Passo 6
Substituindo essa soma de volta na expressão com
, obtemos a forma simplificada final:
Esta é uma forma limpa e prática para escrever a derivada; você pode também deixar expandida em três termos como no Passo 4, ambas estão corretas.