[2 Pontos] Uma pessoa se machuca com uma ferramenta de trabalho ocasionando uma dor intensa no intervalo de 0 a 4 segundos. A equação que descreve esse fenōmeno é dada por
f(t)=10 e^{-0.5 t}
onde otéo termo em segundos.
(a) Determine a variação média da dor no intervalo [0,4]. considerando e^{-2}=0,14.
(b) Seja c \in(0,4), calcule f^{\prime}\text{(c)}. A dor esta aumentando ou diminumdo?
(c) Nessas circunstâncias, encontre o instante c em segundos tal que a variação da dor é igual a sua variaçāo média. Considere \ln (0.43)=-0.84.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei a expressão da função do enunciado e confirmei a mesma escrita na imagem enviada).
  • Função dada: f(t)=10e^{-0,5t}, com t em segundos.
  • Intervalo considerado: [0,4].
  • Valores fornecidos para facilitar contas: e^{-2}=0,14 e \ln(0,43)=-0,84.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a variação média da dor no intervalo [0,4].
    (b) Para um c\in(0,4) calcular f'\text{(c)} e dizer se a dor está aumentando ou diminuindo.
    (c) Encontrar o instante c tal que a variação instantânea f'\text{(c)} seja igual à variação média do item (a).

Passo 2

Definição e cálculo da variação média (parte (a)).
  • Lembrete: a variação média de uma função f no intervalo [a,b] é dada por
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Aqui a=0 e b=4. Primeiro calculo os valores de f nas extremidades:
f(0)=10e^{0}=10.
f(4)=10e^{-0,5\cdot 4}=10e^{-2}.
Usando o valor fornecido e^{-2}=0,14,
f(4)=10\cdot 0,14=1,4.
Agora a variação média:
\frac{f(4)-f(0)}{4-0}=\frac{1,4-10}{4}=\frac{-8,6}{4}=-2,15.
Interpretação rápida: a variação média é -2,15 (unidades de dor por segundo), ou seja, em média a dor diminui 2,15 unidades por segundo no intervalo.

Passo 3

Derivada e comportamento (parte (b)).
  • Lembrete: para derivar uma exponencial composta e^{g(t)} usa-se a regra da cadeia; a derivada é g'(t)e^{g(t)}.
    Aqui f(t)=10e^{g(t)} com g(t)=-0,5t. Então g'(t)=-0,5. Aplicando a regra:
f'(t)=10\cdot g'(t)\,e^{g(t)}=10\cdot(-0,5)\,e^{-0,5t}=-5e^{-0,5t}.
Para qualquer c\in(0,4) temos
f'\text{(c)}=-5e^{-0,5c}.
Como e^{-0,5c}>0 para todo c, segue que f'\text{(c)}<0. Conclusão: a dor está diminuindo (derivada negativa).

Passo 4

Encontrar c tal que f'\text{(c)} é igual à variação média (parte (c)).
  • Igualo a derivada ao valor obtido em (a):
-5e^{-0,5c}=-2,15.
Multiplico por -1 e divido por 5:
e^{-0,5c}=0,43.
Agora aplico logaritmo natural nos dois lados:
-0,5c=\ln(0,43).
Usando \ln(0,43)=-0,84 (dado),
-0,5c=-0,84.
Isolando c:
c=\frac{-0,84}{-0,5}=1,68.
Verificação rápida: c=1,68 está dentro do intervalo (0,4), portanto é aceitável. Interpretação: no instante c=1,68\\ \text{s} a taxa instantânea de diminuição da dor é exatamente igual à variação média no intervalo.

Passo 5

Resumo interpretativo e incentivo:
  • Resultado prático: a dor decresce ao longo do intervalo e em média diminui 2,15 unidades por segundo; no instante 1,68\\ \text{s} a taxa instantânea coincide com essa média. Bom trabalho — já entendeu os passos essenciais para usar média de variação, derivada e logaritmos!

Resposta

(a) -2,15 unidades de dor por segundo
(b) f'\text{(c)}=-5e^{-0,5c}. A dor está diminuindo.
(c) c=1,68\\ \text{s}

Exercícios relacionados