[2 Pontos] Uma pessoa se machuca com uma ferramenta de trabalho ocasionando uma dor intensa no intervalo de 0 a 4 segundos. A equação que descreve esse fenōmeno é dada por
onde otéo termo em segundos.
(a) Determine a variação média da dor no intervalo
. considerando
.
(b) Seja
, calcule
. A dor esta aumentando ou diminumdo?
(c) Nessas circunstâncias, encontre o instante
em segundos tal que a variação da dor é igual a sua variaçāo média. Considere
.
(a) Determine a variação média da dor no intervalo
(b) Seja
(c) Nessas circunstâncias, encontre o instante
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei a expressão da função do enunciado e confirmei a mesma escrita na imagem enviada).
- Função dada:
, com em segundos. - Intervalo considerado:
. - Valores fornecidos para facilitar contas:
e . - Perguntas:
(a) Determinar a variação média da dor no intervalo.
(b) Para umcalcular e dizer se a dor está aumentando ou diminuindo.
(c) Encontrar o instantetal que a variação instantânea seja igual à variação média do item (a).
Passo 2
Definição e cálculo da variação média (parte (a)).
- Lembrete: a variação média de uma função
no intervalo é dada por
Aqui
e
. Primeiro calculo os valores de
nas extremidades:
Usando o valor fornecido
,
Agora a variação média:
Interpretação rápida: a variação média é
(unidades de dor por segundo), ou seja, em média a dor diminui
unidades por segundo no intervalo.
Passo 3
Derivada e comportamento (parte (b)).
- Lembrete: para derivar uma exponencial composta
usa-se a regra da cadeia; a derivada é .
Aquicom . Então . Aplicando a regra:
Para qualquer
temos
Como
para todo
, segue que
. Conclusão: a dor está diminuindo (derivada negativa).
Passo 4
Encontrar
tal que
é igual à variação média (parte (c)).
- Igualo a derivada ao valor obtido em (a):
Multiplico por
e divido por
:
Agora aplico logaritmo natural nos dois lados:
Usando
(dado),
Isolando
:
Verificação rápida:
está dentro do intervalo
, portanto é aceitável. Interpretação: no instante
a taxa instantânea de diminuição da dor é exatamente igual à variação média no intervalo.
Passo 5
Resumo interpretativo e incentivo:
- Resultado prático: a dor decresce ao longo do intervalo e em média diminui
unidades por segundo; no instante a taxa instantânea coincide com essa média. Bom trabalho — já entendeu os passos essenciais para usar média de variação, derivada e logaritmos!
Resposta
(a)
unidades de dor por segundo
(b) . A dor está diminuindo.
(c)
(b)
(c)