[4 Pontos] Calcule as derivadas das seguintes funçōes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e o que se pede:
- A função é soma de três termos:
, e . - A tarefa é encontrar
, a derivada de em termos de . - Observação: aqui
é a cotangente (usarei a notação padrão quando escrever fórmulas).
Passo 2
Vamos lembrar duas coisas essenciais que usaremos: a regra da cadeia e as derivadas básicas das funções trigonométricas envolvidas.
Regra da cadeia (forma curta): se
, então
Isto significa que ao derivar uma função composta, primeiro deriva-se a função externa avaliando-a na interna e depois multiplica-se pela derivada da função interna.
Passo 3
Derivada de
. Primeiro uma lembrança/derivação rápida:
Derivando em relação a
:
Usando a regra da potência/quotient (ou regra da cadeia sobre
):
Agora observe que
. Portanto, em forma conhecida:
Aplicando a regra da cadeia, se temos
então
Passo 4
Derivada de
. Primeiro escrevemos
. Derivando em relação a
:
Então, com regra da cadeia, para
:
Passo 5
Derivada de
. Esta é direta e muito útil:
Se fosse
, pela cadeia seria
.
Passo 6
Agora aplicamos tudo ao nosso
. Separe os termos e identifique as funções internas:
- Para
: a função externa é com . Temos . - Para
(vou escrever ): função externa com . Temos . - Para
: já sabemos a derivada.
Calcule termo a termo usando as fórmulas dos passos anteriores.
Passo 7
Derivando cada termo:
Passo 8
Somando os resultados (derivada da soma é soma das derivadas), obtemos a derivada final: