[4 Pontos] Calcule as derivadas das seguintes funçōes.
f(x)=\operatorname{sec} (x+1)+\operatorname{cotg}(x-1)-e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{sec}(x+1)+\operatorname{cotg}(x-1)-e^{x}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é soma de três termos: \operatorname{sec}(x+1), \operatorname{cotg}(x-1) e -e^{x}.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.
  • Observação: aqui \operatorname{cotg} é a cotangente (usarei a notação padrão \cot quando escrever fórmulas).

Passo 2

Vamos lembrar duas coisas essenciais que usaremos: a regra da cadeia e as derivadas básicas das funções trigonométricas envolvidas.
Regra da cadeia (forma curta): se h(x)=g(u(x)), então
h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Isto significa que ao derivar uma função composta, primeiro deriva-se a função externa avaliando-a na interna e depois multiplica-se pela derivada da função interna.

Passo 3

Derivada de \operatorname{sec} u. Primeiro uma lembrança/derivação rápida:
\operatorname{sec} u=\frac{1}{\cos u}.
Derivando em relação a u:
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u=\frac{d}{du}\left(\frac{1}{\cos u}\right).
Usando a regra da potência/quotient (ou regra da cadeia sobre (\cos u)^{-1}):
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u=\frac{\sin u}{\cos^{2}u}.
Agora observe que \dfrac{\sin u}{\cos^{2}u}=\left(\dfrac{1}{\cos u}\right)\left(\dfrac{\sin u}{\cos u}\right)=\operatorname{sec} u\cdot\tan u. Portanto, em forma conhecida:
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\cdot\tan u.
Aplicando a regra da cadeia, se temos \operatorname{sec}(v(x)) então
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(v(x))=\operatorname{sec}(v(x))\tan(v(x))\cdot v'(x).

Passo 4

Derivada de \cot u. Primeiro escrevemos \cot u=\dfrac{\cos u}{\sin u}. Derivando em relação a u:
\frac{d}{du}\cot u=\frac{-\sin u\cdot\sin u-\cos u\cdot\cos u}{\sin^{2}u}=-\frac{\sin^{2}u+\cos^{2}u}{\sin^{2}u}=-\frac{1}{\sin^{2}u}=-\csc^{2}u.
Então, com regra da cadeia, para \cot(v(x)):
\frac{d}{dx}\cot(v(x))=-\csc^{2}(v(x))\cdot v'(x).

Passo 5

Derivada de e^{x}. Esta é direta e muito útil:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Se fosse e^{v(x)}, pela cadeia seria e^{v(x)}\cdot v'(x).

Passo 6

Agora aplicamos tudo ao nosso f(x). Separe os termos e identifique as funções internas:
  • Para \operatorname{sec}(x+1): a função externa é \operatorname{sec}(u) com u(x)=x+1. Temos u'(x)=1.
  • Para \operatorname{cotg}(x-1) (vou escrever \cot(x-1)): função externa \cot(u) com u(x)=x-1. Temos u'(x)=1.
  • Para -e^{x}: já sabemos a derivada.
Calcule termo a termo usando as fórmulas dos passos anteriores.

Passo 7

Derivando cada termo:
  • \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(x+1)=\operatorname{sec}(x+1)\tan(x+1)\cdot 1=\operatorname{sec}(x+1)\tan(x+1).
  • \dfrac{d}{dx}\cot(x-1)=-\csc^{2}(x-1)\cdot 1=-\csc^{2}(x-1).
  • \dfrac{d}{dx}\big(-e^{x}\big)=-e^{x}.

Passo 8

Somando os resultados (derivada da soma é soma das derivadas), obtemos a derivada final:
f'(x)=\operatorname{sec}(x+1)\tan(x+1)-\csc^{2}(x-1)-e^{x}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}(x+1)\tan(x+1)-\csc^{2}(x-1)-e^{x}

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