[4](4,0 pontos) Seja T \in L\left(\mathbb{R}^{4}\right) dado por
T(x, y, z, t)=(0, x, y+2 x, z+2 y+3 x)
Mostre que:
b) I-T é automorfismo do \mathbb{R}^{4} e I+T+T^{2}+T^{3}=(I-T)^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} definida por
T(x,y,z,t)=(0,x,y+2x,z+2y+3x).
O que nos pedem:
  • Mostrar que I-T é um automorfismo de \mathbb{R}^4 (ou seja, que I-T é invertível como aplicação linear).
  • Mostrar que
I+T+T^{2}+T^{3}=(I-T)^{-1}.
As informações relevantes que temos: a fórmula explícita de T para qualquer vetor (x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4.

Passo 2

Para entender melhor T vamos escrever como atua sobre vetores e aplicar T repetidas vezes. Dados v=(x,y,z,t), por definição
T(v)=T(x,y,z,t)=(0,x,y+2x,z+2y+3x).
Vou calcular T^2(v)=T(T(v)), T^3(v) e T^4(v) de forma explícita — isso é útil para ver se T é nilpotente (potência nula) e para a soma geométrica finita.

Passo 3

Calculemos T^2(v). Aplicando T a T(v)=(0,x,y+2x,z+2y+3x) e usando a fórmula,
T^2(v)=T(0,x,y+2x,z+2y+3x).
Pela definição de T os componentes ficam:
  • primeira componente: 0,
  • segunda componente: entrada anterior =0 (pois a primeira componente do argumento é 0),
  • terceira componente: u_2 + 2u_1 = x + 2\cdot 0 = x,
  • quarta componente: u_3 + 2u_2 + 3u_1 = (y+2x) + 2x + 3\cdot 0 = y + 4x.
    Portanto
T^2(v)=(0,0,x,y+4x).

Passo 4

Agora T^3(v)=T(T^2(v))=T(0,0,x,y+4x). Aplicando a fórmula:
  • primeira componente: 0,
  • segunda componente: 0,
  • terceira componente: u_2 + 2u_1 = 0 + 2\cdot 0 = 0??? Atenção: reavaliar — aplicar corretamente: para argumento (u_1,u_2,u_3,u_4)=(0,0,x,y+4x) a terceira componente é u_2+2u_1 = 0+2\cdot 0 = 0, mas olhando a regra anterior (veja passo 3) percebemos que temos que conferir consistência. Façamos com cuidado usando a fórmula original:
Para T(u_1,u_2,u_3,u_4)=(0,u_1,u_2+2u_1,u_3+2u_2+3u_1).
Tomando u=(0,0,x,y+4x) temos:
  • primeira componente: 0,
  • segunda componente: u_1=0,
  • terceira componente: u_2+2u_1 = 0 + 2\cdot 0 = 0,
  • quarta componente: u_3 + 2u_2 + 3u_1 = x + 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = x.
Logo
T^3(v)=(0,0,0,x).

Passo 5

Finalmente,
T^4(v)=T(T^3(v))=T(0,0,0,x).
Aplicando a fórmula com u=(0,0,0,x) obtemos todas componentes nulas:
  • primeira: 0,
  • segunda: u_1=0,
  • terceira: u_2+2u_1=0,
  • quarta: u_3+2u_2+3u_1=0.
    Portanto, para todo v\in\mathbb{R}^4,
T^4(v)=(0,0,0,0).
Isto é, T^4=0 (a aplicação linear nula). Dizemos que T é nilpotente de índice no máximo 4.

Passo 6

Explico o conceito usado: uma transformação linear N é nilpotente se existe k tal que N^k=0. Uma propriedade útil é que, se T é nilpotente com T^m=0, então I-T é invertível e a sua inversa é a soma finita da série geométrica
(I-T)^{-1}=I+T+T^2+\cdots+T^{m-1},
porque a multiplicação produz I-T^m=I. Vou aplicar essa propriedade com m=4 (já que T^4=0) e também verificar explicitamente o produto para ficar bem claro.

Passo 7

Verifiquemos o produto
(I-T)\bigl(I+T+T^2+T^3\bigr).
Ao multiplicar distribui-se:
(I-T)(I+T+T^2+T^3)=I + T + T^2 + T^3 - T - T^2 - T^3 - T^4.
Os termos T, T^2, T^3 cancelam, sobrando
(I-T)(I+T+T^2+T^3)=I - T^4.
Mas já provamos que T^4=0, logo
(I-T)(I+T+T^2+T^3)=I.
De modo análogo (ou observando que a álgebra é sobre operadores lineares) tem-se também
(I+T+T^2+T^3)(I-T)=I,
portanto I+T+T^2+T^3 é a inversa de I-T.

Passo 8

Concluímos duas coisas:
  1. Como I-T possui inversa linear explícita I+T+T^2+T^3, segue que I-T é invertível. Uma aplicação linear invertível é, por definição, um automorfismo de \mathbb{R}^4. Assim, I-T é automorfismo.
  2. A inversa calculada é exatamente
(I-T)^{-1}=I+T+T^2+T^3,
pois multiplicando em qualquer ordem obtemos a identidade.

Resposta

I-T é automorfismo de \mathbb{R}^{4}.\n I+T+T^{2}+T^{3}=(I-T)^{-1}.

Exercícios relacionados