[4](4,0 pontos) Seja
dado por
Mostre que:
b)
é automorfismo do
e
.
b)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que nos pedem:
- Mostrar que
é um automorfismo de (ou seja, que é invertível como aplicação linear). - Mostrar que
As informações relevantes que temos: a fórmula explícita de
para qualquer vetor
.
Passo 2
Para entender melhor
vamos escrever como atua sobre vetores e aplicar
repetidas vezes. Dados
, por definição
Vou calcular
,
e
de forma explícita — isso é útil para ver se
é nilpotente (potência nula) e para a soma geométrica finita.
Passo 3
Calculemos
. Aplicando
a
e usando a fórmula,
Pela definição de
os componentes ficam:
- primeira componente:
, - segunda componente: entrada anterior
(pois a primeira componente do argumento é ), - terceira componente:
, - quarta componente:
.
Portanto
Passo 4
Agora
. Aplicando a fórmula:
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
??? Atenção: reavaliar — aplicar corretamente: para argumento a terceira componente é , mas olhando a regra anterior (veja passo 3) percebemos que temos que conferir consistência. Façamos com cuidado usando a fórmula original:
Para
.
Tomando
temos:
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
, - quarta componente:
.
Logo
Passo 5
Finalmente,
Aplicando a fórmula com
obtemos todas componentes nulas:
- primeira:
, - segunda:
, - terceira:
, - quarta:
.
Portanto, para todo,
Isto é,
(a aplicação linear nula). Dizemos que
é nilpotente de índice no máximo
.
Passo 6
Explico o conceito usado: uma transformação linear
é nilpotente se existe
tal que
. Uma propriedade útil é que, se
é nilpotente com
, então
é invertível e a sua inversa é a soma finita da série geométrica
porque a multiplicação produz
. Vou aplicar essa propriedade com
(já que
) e também verificar explicitamente o produto para ficar bem claro.
Passo 7
Verifiquemos o produto
Ao multiplicar distribui-se:
Os termos
cancelam, sobrando
Mas já provamos que
, logo
De modo análogo (ou observando que a álgebra é sobre operadores lineares) tem-se também
portanto
é a inversa de
.
Passo 8
Concluímos duas coisas:
- Como
possui inversa linear explícita , segue que é invertível. Uma aplicação linear invertível é, por definição, um automorfismo de . Assim, é automorfismo. - A inversa calculada é exatamente
pois multiplicando em qualquer ordem obtemos a identidade.