Determine quais das matrizes abaixo é combinação linear de A=\left(\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ll}6 & 0 \\\\ 3 & 8\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] -2 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}
e a matriz candidata
M=\begin{pmatrix}6 & 0 \\[4pt] 3 & 8\end{pmatrix}.
A pergunta é: a matriz M é combinação linear de A,B,C? Em outras palavras, existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha A+\beta B+\gamma C = M ?]

Passo 2

Explicar o que significa escrever M como combinação linear: escolher números \alpha,\beta,\gamma e calcular \alpha A+\beta B+\gamma C. Igualando entrada a entrada da matriz resultante com M obtemos um sistema linear para \alpha,\beta,\gamma. Escrevendo as quatro equações (uma para cada posição da matriz):
  • entrada (1,1): \;4\alpha+1\beta+0\gamma=6,
  • entrada (1,2): \;0\alpha-1\beta+2\gamma=0,
  • entrada (2,1): \;-2\alpha+2\beta+1\gamma=3,
  • entrada (2,2): \;-2\alpha+3\beta+4\gamma=8.
Em forma mais limpa:
\begin{cases} 4\alpha+\beta=6,\\[4pt] -\beta+2\gamma=0,\\[4pt] -2\alpha+2\beta+\gamma=3,\\[4pt] -2\alpha+3\beta+4\gamma=8. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema passo a passo.
Da segunda equação temos diretamente
-\beta+2\gamma=0\quad\Rightarrow\quad \beta=2\gamma.
Substituindo \beta=2\gamma na primeira equação:
4\alpha+2\gamma=6 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha+\gamma=3.
Isolando \gamma em função de \alpha:
\gamma=3-2\alpha.
Então \beta=2\gamma=2(3-2\alpha)=6-4\alpha.
Agora substituir \beta e \gamma na terceira equação -2\alpha+2\beta+\gamma=3:
-2\alpha+2(6-4\alpha)+(3-2\alpha)=3.
Calcular cada termo cuidadosamente:
-2\alpha + 12 -8\alpha + 3 -2\alpha = 3.
Somando os coeficientes de \alpha: -2-8-2=-12, e constantes: 12+3=15. Assim
-12\alpha + 15 = 3 \quad\Rightarrow\quad -12\alpha = -12 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 1.
Com \alpha=1 obtemos
\gamma = 3-2\alpha = 3-2\cdot1 = 1, \qquad \beta = 2\gamma = 2\cdot1 = 2.

Passo 4

Verificação final: substituir \alpha=1,\beta=2,\gamma=1 na quarta equação para checar consistência:
-2\alpha+3\beta+4\gamma = -2(1)+3(2)+4(1) = -2+6+4 = 8,
que coincide com o lado direito. Portanto o sistema é consistente e os valores encontrados estão corretos.
Além disso, calcular a combinação para conferir diretamente:
1\cdot A + 2\cdot B + 1\cdot C = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] -2 & -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & -2 \\[4pt] 4 & 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 0 \\[4pt] 3 & 8\end{pmatrix}=M.]

Resposta

M = 1\cdot A + 2\cdot B + 1\cdot C

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