Seja
um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno.
Se
é uma isometria, mostre que
é invertível e que
também é uma isometria.
Se
Passo 1
O enunciado fornece:
-
é um espaço vetorial de dimensão finita equipado com um produto interno, denotado por . -
é uma isometria linear.
O que precisa ser mostrado:
-
é invertível (isto é, existe uma aplicação linear tal que ). -
também é uma isometria (preserva o produto interno: para todos ).
Passo 2
Definição e consequência imediata da isometria. Dizer que
é isometria significa, por definição, que para todos
vale
Uma consequência útil é que
preserva normas, pois a norma associada ao produto interno é
. Assim, para todo
,
logo
Passo 3
Mostrar que
é injetora. Tome
tal que
(vetor nulo). Usando a preservação da norma:
Como a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor é o zero, segue
. Portanto o núcleo de
é trivial:
. Isso significa que
é injetora.
Passo 4
Usar dimensão finita para concluir que
é sobrejetora (e, portanto, invertível). Aplico o teorema do posto-nulidade (rank-nullity): para um operador linear
em espaço de dimensão finita vale
onde
. Como já vimos
, então
. Logo
, o que quer dizer que a imagem de
tem dimensão igual à de
; portanto a imagem é todo
, isto é,
é sobrejetora. Sendo linear, injetora e sobrejetora,
admite inversa linear
. Concluímos que
é invertível.
Passo 5
Mostrar que
é uma isometria. Seja
. Como
é sobrejetora, existem
tais que
e
. Então, usando que
preserva o produto interno,
Como isso vale para quaisquer
, segue que
preserva o produto interno, ou seja,
é uma isometria. (Como consequência alternativa,
também preserva normas:
.)
Passo 6
Resumo final do raciocínio com conexão entre os passos: a isometria preserva normas, daí
(injetividade); em espaço de dimensão finita injetividade implica sobrejetividade por posto-nulidade; portanto
é invertível; usando inversibilidade e a preservação do produto interno por
obtém-se que a inversa também preserva o produto interno, logo é isometria. Boa — problema resolvido!