Seja \mathcal{V} um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno.
Se T \in \mathcal{L}(\mathcal{V}) é uma isometria, mostre que T é invertível e que T^{-1} também é uma isometria.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • \mathcal{V} é um espaço vetorial de dimensão finita equipado com um produto interno, denotado por \langle \cdot,\cdot\rangle.
  • T\in\mathcal{L}(\mathcal{V}) é uma isometria linear.
O que precisa ser mostrado:
  1. T é invertível (isto é, existe uma aplicação linear T^{-1}:\mathcal{V}\to\mathcal{V} tal que T^{-1}\circ T = T\circ T^{-1} = \mathrm{id}_{\mathcal{V}}).
  2. T^{-1} também é uma isometria (preserva o produto interno: \langle T^{-1}(x),T^{-1}(y)\rangle = \langle x,y\rangle para todos x,y\in\mathcal{V}).

Passo 2

Definição e consequência imediata da isometria. Dizer que T é isometria significa, por definição, que para todos u,v\in\mathcal{V} vale
\langle T(u),T(v)\rangle = \langle u,v\rangle.
Uma consequência útil é que T preserva normas, pois a norma associada ao produto interno é \|w\|=\sqrt{\langle w,w\rangle}. Assim, para todo v\in\mathcal{V},
\|T(v)\|^2=\langle T(v),T(v)\rangle=\langle v,v\rangle=\|v\|^2,
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\|T(v)\|=\|v\|.

Passo 3

Mostrar que T é injetora. Tome v\in\mathcal{V} tal que T(v)=0 (vetor nulo). Usando a preservação da norma:
\|v\|=\|T(v)\|=\|0\|=0.
Como a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor é o zero, segue v=0. Portanto o núcleo de T é trivial: \ker T=\{0\}. Isso significa que T é injetora.

Passo 4

Usar dimensão finita para concluir que T é sobrejetora (e, portanto, invertível). Aplico o teorema do posto-nulidade (rank-nullity): para um operador linear T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} em espaço de dimensão finita vale
\dim\mathcal{V}=\operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T),
onde \operatorname{nullity}(T)=\dim(\ker T). Como já vimos \ker T=\{0\}, então \operatorname{nullity}(T)=0. Logo \operatorname{rank}(T)=\dim\mathcal{V}, o que quer dizer que a imagem de T tem dimensão igual à de \mathcal{V}; portanto a imagem é todo \mathcal{V}, isto é, T é sobrejetora. Sendo linear, injetora e sobrejetora, T admite inversa linear T^{-1}:\mathcal{V}\to\mathcal{V}. Concluímos que T é invertível.

Passo 5

Mostrar que T^{-1} é uma isometria. Seja x,y\in\mathcal{V}. Como T é sobrejetora, existem u,v\in\mathcal{V} tais que x=T(u) e y=T(v). Então, usando que T preserva o produto interno,
\langle T^{-1}(x),T^{-1}(y)\rangle = \langle u,v\rangle = \langle T(u),T(v)\rangle = \langle x,y\rangle.
Como isso vale para quaisquer x,y\in\mathcal{V}, segue que T^{-1} preserva o produto interno, ou seja, T^{-1} é uma isometria. (Como consequência alternativa, T^{-1} também preserva normas: \|T^{-1}(x)\|=\|x\|.)

Passo 6

Resumo final do raciocínio com conexão entre os passos: a isometria preserva normas, daí \ker T=\{0\} (injetividade); em espaço de dimensão finita injetividade implica sobrejetividade por posto-nulidade; portanto T é invertível; usando inversibilidade e a preservação do produto interno por T obtém-se que a inversa também preserva o produto interno, logo é isometria. Boa — problema resolvido!

Resposta

T é invertível.
T^{-1} é uma isometria.

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