Q1 [40,0] A posiçāo de uma partícula que se move ao longo do eixo
é dada por
onde
é o tempo em segundos. Determine a posição, a velocidade e a aceleração em
, além da distância percorrida no intervalo de
a
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
com
em segundos. O que é pedido:
- Determinar a posição em
. - Determinar a velocidade em
. - Determinar a aceleração em
. - Determinar a distância percorrida no intervalo
até .
Informações relevantes dadas:
- A função
está explicitada acima. - O intervalo de tempo para a distância é
. - Unidades:
em , em .
Passo 2
Entender o que são velocidade e aceleração (aqui vai uma explicação prática e calma).
- A velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de em relação a : - A aceleração instantânea
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; ou seja, a derivada de :
Como calcular derivadas rápidas: regra do poder (power rule) — a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
- Para
:
Portanto:
Agora derivando
(mesma regra do poder, termo a termo):
Observação de unidades:
tem unidade
e
tem unidade
.
Passo 3
Calcular posição, velocidade e aceleração em
com contas detalhadas.
Posição:
Calcule passo a passo:
Logo
Portanto
Velocidade:
Calcule:
Logo
Portanto
Aceleração:
Portanto
Passo 4
Como calcular a distância percorrida entre
e
.
Importante distinguir:
- Deslocamento (vetorial) é
. - Distância percorrida (escalares) é a soma dos comprimentos efetivamente percorridos, que exige considerar mudanças de sentido do movimento. Em termos de velocidade, a distância total é
que, na prática sem integral explícita, pode ser feita encontrando os instantes em onde (pontos de inversão de sentido) e somando os módulos dos deslocamentos em cada subintervalo onde tem sinal constante.
Então primeiro encontramos os instantes em
tais que
.
Passo 5
Resolver
e dividir o intervalo.
Temos
Resolver
. Uso da fórmula ou fatoração:
Assim as raízes são
e
. Apenas
pertence ao intervalo
. Logo o único instante de mudança de sentido em
é
.
Verificação do sinal da velocidade:
- Para
, pegue : (movendo-se no sentido negativo). - Para
, pegue : (movendo-se no sentido positivo).
Portanto a partícula vai do
até
em sentido negativo, depois inverte e vai de
até
em sentido positivo. Calcule as posições nos instantes importantes:
Já temos
e
:
Calcule
:
Passo a passo:
Logo
Agora distâncias percorridas em cada trecho:
- De
a : deslocamento . Como o movimento foi no sentido negativo, a distância percorrida é . - De
a : deslocamento . Aqui o movimento foi positivo, então distância é .
Somando as partes:
Passo 6
Recapitulando (rápido e motivador): você aprendeu a obter velocidade e aceleração derivando a função posição com a regra do poder, a interpretar zeros da velocidade como mudanças de sentido, e a somar as distâncias em cada trecho para obter a distância total. Boa! Agora confira só o gabarito final na seção abaixo.