Q1 [40,0] A posiçāo de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por
x=t^{3}-3 t^{2}-45 t \quad[\mathrm{~m}],
onde t é o tempo em segundos. Determine a posição, a velocidade e a aceleração em t=8 \mathrm{~s}, além da distância percorrida no intervalo de t=0 a t=8 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
x(t)=t^{3}-3t^{2}-45t\quad[\mathrm{m}],
com t em segundos. O que é pedido:
  • Determinar a posição em t=8\\ \mathrm{s}.
  • Determinar a velocidade em t=8\\ \mathrm{s}.
  • Determinar a aceleração em t=8\\ \mathrm{s}.
  • Determinar a distância percorrida no intervalo t=0 até t=8\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes dadas:
  • A função x(t) está explicitada acima.
  • O intervalo de tempo para a distância é [0,8].
  • Unidades: x em \mathrm{m}, t em \mathrm{s}.

Passo 2

Entender o que são velocidade e aceleração (aqui vai uma explicação prática e calma).
  • A velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de x(t) em relação a t: v(t)=\frac{dx}{dt}.
  • A aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; ou seja, a derivada de v(t): a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Como calcular derivadas rápidas: regra do poder (power rule) — a derivada de \,t^{n}\, é \,n\,t^{n-1}. Aplicando termo a termo:
  • Para x(t)=t^{3}-3t^{2}-45t: \frac{d}{dt}\big(t^{3}\big)=3t^{2},\qquad \frac{d}{dt}\big(-3t^{2}\big)=-6t,\qquad \frac{d}{dt}\big(-45t\big)=-45.
Portanto:
v(t)=3t^{2}-6t-45.
Agora derivando v(t) (mesma regra do poder, termo a termo):
a(t)=\frac{d}{dt}\big(3t^{2}-6t-45\big)=6t-6.
Observação de unidades: v(t) tem unidade \mathrm{m/s} e a(t) tem unidade \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Calcular posição, velocidade e aceleração em t=8\\ \mathrm{s} com contas detalhadas.
Posição:
x(8)=8^{3}-3\cdot8^{2}-45\cdot8.
Calcule passo a passo:
8^{3}=512,\qquad 3\cdot8^{2}=3\cdot64=192,\qquad 45\cdot8=360.
Logo
x(8)=512-192-360=512-552=-40.
Portanto x(8)=-40\\ \mathrm{m}.
Velocidade:
v(8)=3\cdot8^{2}-6\cdot8-45.
Calcule:
3\cdot8^{2}=3\cdot64=192,\qquad 6\cdot8=48.
Logo
v(8)=192-48-45=144-45=99.
Portanto v(8)=99\\ \mathrm{m/s}.
Aceleração:
a(8)=6\cdot8-6=48-6=42.
Portanto a(8)=42\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Como calcular a distância percorrida entre t=0 e t=8.
Importante distinguir:
  • Deslocamento (vetorial) é \Delta x = x(8)-x(0).
  • Distância percorrida (escalares) é a soma dos comprimentos efetivamente percorridos, que exige considerar mudanças de sentido do movimento. Em termos de velocidade, a distância total é \int_{0}^{8} |v(t)|\,dt,que, na prática sem integral explícita, pode ser feita encontrando os instantes em [0,8] onde v(t)=0 (pontos de inversão de sentido) e somando os módulos dos deslocamentos em cada subintervalo onde v tem sinal constante.
Então primeiro encontramos os instantes em [0,8] tais que v(t)=0.

Passo 5

Resolver v(t)=0 e dividir o intervalo.
Temos
v(t)=3t^{2}-6t-45=3\big(t^{2}-2t-15\big).
Resolver t^{2}-2t-15=0. Uso da fórmula ou fatoração:
t^{2}-2t-15=(t-5)(t+3).
Assim as raízes são t=5 e t=-3. Apenas t=5 pertence ao intervalo [0,8]. Logo o único instante de mudança de sentido em [0,8] é t=5.
Verificação do sinal da velocidade:
  • Para t\in(0,5), pegue t=1: v(1)=3-6-45=-48<0 (movendo-se no sentido negativo).
  • Para t\in(5,8], pegue t=6: v(6)=3\cdot36-36-45=108-36-45=27>0 (movendo-se no sentido positivo).
Portanto a partícula vai do t=0 até t=5 em sentido negativo, depois inverte e vai de t=5 até t=8 em sentido positivo. Calcule as posições nos instantes importantes:
Já temos x(0) e x(8):
x(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}-45\cdot0=0,
x(8)=-40\\ (\text{já calculado}).á
Calcule x(5):
x(5)=5^{3}-3\cdot5^{2}-45\cdot5.
Passo a passo:
5^{3}=125,\qquad 3\cdot5^{2}=3\cdot25=75,\qquad 45\cdot5=225.
Logo
x(5)=125-75-225=125-300=-175.
Agora distâncias percorridas em cada trecho:
  • De t=0 a t=5: deslocamento x(5)-x(0)=-175-0=-175. Como o movimento foi no sentido negativo, a distância percorrida é |-175|=175\\ \mathrm{m}.
  • De t=5 a t=8: deslocamento x(8)-x(5)=-40-(-175)=135. Aqui o movimento foi positivo, então distância é 135\\ \mathrm{m}.
Somando as partes:
\text{distância total}=175+135=310\\ \mathrm{m}.â

Passo 6

Recapitulando (rápido e motivador): você aprendeu a obter velocidade e aceleração derivando a função posição com a regra do poder, a interpretar zeros da velocidade como mudanças de sentido, e a somar as distâncias em cada trecho para obter a distância total. Boa! Agora confira só o gabarito final na seção abaixo.

Resposta

x(8)=-40\\ \mathrm{m}
v(8)=99\\ \mathrm{m/s}
a(8)=42\\ \mathrm{m/s^{2}}
\text{distância percorrida de }t=0\text{ a }t=8 = 310\\ \mathrm{m}â

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