Q2 [30,0] Uma partícula percorre um um círculo de raio igual a 4 m , variando sua velocidade escalar a uma taxa constante. Em um determinado ponto A, a velocidade escalar vale 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Depois de percorrer mais um quarto de volta até o ponto B, a velocidade aumentou para 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a magnitude da aceleração da partícula em B.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Raio do círculo: r=4\\ \mathrm{m}.
  • Em um ponto A a velocidade escalar vale v_A=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Após percorrer mais um quarto de volta (isto é, um arco de comprimento igual a um quarto da circunferência) chega-se ao ponto B, com velocidade escalar v_B=6\\ \mathrm{m/s}.
  • A variação da velocidade escalar ocorre a uma taxa constante (ou seja, a aceleração tangencial é constante ao longo desse arco).
    O que se pede:
  • Determinar a magnitude da aceleração da partícula no ponto B.

Passo 2

Entender a decomposição da aceleração num movimento circular:
  • A aceleração total \vec a pode ser escrita como soma vetorial de duas componentes perpendiculares:
    • componente tangencial \vec a_t (direção tangente à trajetória, responsável pela variação do módulo da velocidade);
    • componente normal/centrípeta \vec a_n (direção radial para o centro, responsável por curvar a trajetória).
  • Em módulo, como são perpendiculares, a magnitude da aceleração total é
a=\sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}}.
  • Fórmulas importantes:
    • A aceleração centrípeta (normal) em movimento circular é dada por
    a_n=\frac{v^{2}}{r},onde v é o módulo da velocidade no instante considerado e r o raio da curva.
    • A aceleração tangencial a_t relaciona-se com a variação da velocidade escalar. Se a_t é constante ao longo do arco, podemos usar a relação (derivada abaixo):
    v\,\frac{dv}{ds}=a_t \quad\Rightarrow\quad v_B^{2}=v_A^{2}+2a_t s,onde s é o comprimento do arco percorrido entre A e B. Essa relação vem de notar que a_t=dv/dt e v=ds/dt, logo a_t=(dv/ds)(ds/dt)=v\,dv/ds; integrar de s=0 a s dá a identidade acima.

Passo 3

Calcular o comprimento do arco percorrido de A até B:
  • Um quarto de volta tem comprimento igual a um quarto da circunferência:
s=\frac{1}{4}\cdot(2\pi r)=\frac{\pi}{2}\,r.
  • Com r=4\\ \mathrm{m} obtemos
s=\frac{\pi}{2}\cdot 4 = 2\pi\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar a aceleração tangencial a_t usando v_B^{2}=v_A^{2}+2a_t s:
  • Rearranjando:
a_t=\frac{v_B^{2}-v_A^{2}}{2s}.
  • Substituindo v_A=3\\ \mathrm{m/s}, v_B=6\\ \mathrm{m/s} e s=2\pi\\ \mathrm{m}:
a_t=\frac{6^{2}-3^{2}}{2\cdot 2\pi}=\frac{36-9}{4\pi}=\frac{27}{4\pi}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Valor numérico aproximado (usar \pi\approx3{,}1416):
a_t\approx\frac{27}{4\cdot 3{,}1416}\approx 2{,}15\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Determinar a aceleração centrípeta a_n no ponto B:
  • Usando a_n=\dfrac{v^{2}}{r} com v=v_B=6\\ \mathrm{m/s} e r=4\\ \mathrm{m}:
a_n=\frac{6^{2}}{4}=\frac{36}{4}=9\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Calcular a magnitude da aceleração total em B:
  • Usando a=\sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}} e substituindo a expressão exata para a_t:
a=\sqrt{\left(\frac{27}{4\pi}\right)^{2}+9^{2}}.
  • Avaliando numericamente:
a\approx\sqrt{(2{,}15)^{2}+9^{2}}\approx\sqrt{4{,}62+81}= \sqrt{85{,}62}\approx 9{,}25\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Interpretação final e observação prática (útil para a prova):
  • A maior contribuição para a aceleração em B vem da componente centrípeta a_n=9\\ \mathrm{m/s^{2}}; a componente tangencial a_t\approx2{,}15\\ \mathrm{m/s^{2}} é bem menor, mas é ela que causou o aumento de velocidade de 3 para 6\\ \mathrm{m/s} ao longo do arco.
  • Em problemas da prova, quando a variação de velocidade escalar é constante ao longo de um arco, usar a relação v_B^{2}=v_A^{2}+2a_t s costuma ser a forma mais rápida de achar a_t sem precisar do tempo.

Resposta

9{,}25\\ \mathrm{m\,s^{-2}}

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