Q2 [30,0] Uma partícula percorre um um círculo de raio igual a 4 m , variando sua velocidade escalar a uma taxa constante. Em um determinado ponto
, a velocidade escalar vale
. Depois de percorrer mais um quarto de volta até o ponto
, a velocidade aumentou para
. Determine a magnitude da aceleração da partícula em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Raio do círculo:
. - Em um ponto
a velocidade escalar vale . - Após percorrer mais um quarto de volta (isto é, um arco de comprimento igual a um quarto da circunferência) chega-se ao ponto
, com velocidade escalar . - A variação da velocidade escalar ocorre a uma taxa constante (ou seja, a aceleração tangencial é constante ao longo desse arco).
O que se pede: - Determinar a magnitude da aceleração da partícula no ponto
.
Passo 2
Entender a decomposição da aceleração num movimento circular:
- A aceleração total
pode ser escrita como soma vetorial de duas componentes perpendiculares: - componente tangencial
(direção tangente à trajetória, responsável pela variação do módulo da velocidade); - componente normal/centrípeta
(direção radial para o centro, responsável por curvar a trajetória).
- componente tangencial
- Em módulo, como são perpendiculares, a magnitude da aceleração total é
- Fórmulas importantes:
- A aceleração centrípeta (normal) em movimento circular é dada por
onde é o módulo da velocidade no instante considerado e o raio da curva. - A aceleração tangencial
relaciona-se com a variação da velocidade escalar. Se é constante ao longo do arco, podemos usar a relação (derivada abaixo):
onde é o comprimento do arco percorrido entre e . Essa relação vem de notar que e , logo ; integrar de a dá a identidade acima.
Passo 3
Calcular o comprimento do arco percorrido de
até
:
- Um quarto de volta tem comprimento igual a um quarto da circunferência:
- Com
obtemos
Passo 4
Determinar a aceleração tangencial
usando
:
- Rearranjando:
- Substituindo
, e :
- Valor numérico aproximado (usar
):
Passo 5
Determinar a aceleração centrípeta
no ponto
:
- Usando
com e :
Passo 6
Calcular a magnitude da aceleração total em
:
- Usando
e substituindo a expressão exata para :
- Avaliando numericamente:
Passo 7
Interpretação final e observação prática (útil para a prova):
- A maior contribuição para a aceleração em
vem da componente centrípeta ; a componente tangencial é bem menor, mas é ela que causou o aumento de velocidade de para ao longo do arco. - Em problemas da prova, quando a variação de velocidade escalar é constante ao longo de um arco, usar a relação
costuma ser a forma mais rápida de achar sem precisar do tempo.