40.28 • Decaimento alfa. Em um modelo simples de núcleo radioativo, uma partícula alfa ( m= 6,64 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} ) está presa em uma barreira quadrada com altura igual a 30,0 \mathrm{MeV} e largura de 2,0 fm.
Qual é a probabilidade de tunelamento se a energia cinética da partícula alfa está 10,0 \mathrm{MeV} abaixo do topo da barreira?

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a probabilidade de tunelamento (transmissão) de uma partícula alfa presa por uma barreira quadrada. Dados fornecidos:
  • massa da partícula alfa: m = 6{,}64\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • altura da barreira: U_0 = 30{,}0\\ \mathrm{MeV} (valor usado apenas para referência).
  • largura da barreira: a = 2{,}0\\ \mathrm{fm}.
  • a energia cinética da partícula está 10{,}0\\ \mathrm{MeV} abaixo do topo da barreira, ou seja a diferença entre barreira e energia é \Delta E = U_0 - E = 10{,}0\\ \mathrm{MeV}.
O que devemos fornecer: a probabilidade de tunelamento T (um número adimensional, geralmente pequeno quando \Delta E>0).

Passo 2

Fórmula que vamos usar e por quê. Para uma barreira quadrada de altura maior que a energia da partícula ( E<U_0), a aproximação WKB (ou a forma exponencial dominante da transmissão) dá:
T \approx e^{-2\kappa a},
onde
\kappa = \frac{\sqrt{2m\,(U_0 - E)}}{\hbar}.
Explicando cada símbolo:
  • T é a probabilidade de tunelamento (entre 0 e 1).
  • a é a largura da barreira (em metros).
  • m é a massa da partícula (em kg).
  • U_0 - E = \Delta E é a diferença de energia (a “altura efetiva” que a partícula precisa tunelar), em joules.
  • \hbar é a constante reduzida de Planck, \hbar \approx 1{,}0545718\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Observação didática rápida: essa expressão vem do fato de que, dentro da barreira clássicamente proibida, a função de onda decai exponencialmente como \exp(-\kappa x), e a probabilidade de atravessar uma região de comprimento a é proporcional ao quadrado disso, resultando em \exp(-2\kappa a). A fórmula é especialmente adequada quando \kappa a não é muito pequeno (barreira relativamente “espessa” em unidades de comprimento de decaimento).

Passo 3

Conversão de unidades e preparação dos números:
  • Largura: a = 2{,}0\\ \mathrm{fm} = 2{,}0\times 10^{-15}\\ \mathrm{m}.
  • Energia \Delta E = 10{,}0\\ \mathrm{MeV}. Converter para joules usando 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}:
\Delta E = 10{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{eV}\times 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J/eV} = 10{,}0\times 10^{6}\times 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1{,}602176634\times 10^{-12}\\ \mathrm{J}.
  • Constante reduzida: \hbar = 1{,}0545718\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Massa: m = 6{,}64\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Cálculo de \kappa. Primeiro calculamos 2m\Delta E:
2m\Delta E = 2 \times (6{,}64\times 10^{-27}) \times (1{,}602176634\times 10^{-12}) \\ \mathrm{J\cdot kg}.
Fazendo a multiplicação:
2m\Delta E \approx 2 \times 6{,}64 \times 1{,}602176634 \times 10^{-27-12} = 21{,}27456 \times 10^{-39} = 2{,}127456\times 10^{-38}.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{2m\Delta E} \approx \sqrt{2{,}127456\times 10^{-38}} = 1{,}45844\times 10^{-19}\\ \mathrm{kg^{1/2} m^{1/2} s^{-1}}.
Finalmente,
\kappa = \frac{\sqrt{2m\Delta E}}{\hbar} \approx \frac{1{,}45844\times 10^{-19}}{1{,}0545718\times 10^{-34}} \approx 1{,}383\times 10^{15}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Cálculo do expoente e da probabilidade T:
-2\kappa a = -2 \times (1{,}383\times 10^{15}) \times (2{,}0\times 10^{-15}) = -2 \times 1{,}383 \times 2{,}0 \times 10^{15-15} = -5{,}532.
Portanto
T \approx e^{-2\kappa a} \approx e^{-5{,}532} \approx 3{,}97\times 10^{-3}.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 0{,}397\%.
Breve comentário sobre validade: \kappa a \approx 2{,}766 (metade do expoente), então a aproximação exponencial é razoável — não estamos em um limite extremo, mas a expressão T\approx e^{-2\kappa a} captura bem a ordem de grandeza da probabilidade de tunelamento.

Resposta

T \approx 3{,}97\times 10^{-3} (aprox. 0{,}397\%)

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