40.28 • Decaimento alfa. Em um modelo simples de núcleo radioativo, uma partícula alfa (
) está presa em uma barreira quadrada com altura igual a
e largura de 2,0 fm.
Qual é a probabilidade de tunelamento se a energia cinética da partícula alfa está
abaixo do topo da barreira?
Qual é a probabilidade de tunelamento se a energia cinética da partícula alfa está
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a probabilidade de tunelamento (transmissão) de uma partícula alfa presa por uma barreira quadrada. Dados fornecidos:
- massa da partícula alfa:
. - altura da barreira:
(valor usado apenas para referência). - largura da barreira:
. - a energia cinética da partícula está
abaixo do topo da barreira, ou seja a diferença entre barreira e energia é .
O que devemos fornecer: a probabilidade de tunelamento
(um número adimensional, geralmente pequeno quando
).
Passo 2
Fórmula que vamos usar e por quê. Para uma barreira quadrada de altura maior que a energia da partícula (
), a aproximação WKB (ou a forma exponencial dominante da transmissão) dá:
onde
Explicando cada símbolo:
-
é a probabilidade de tunelamento (entre 0 e 1). -
é a largura da barreira (em metros). -
é a massa da partícula (em kg). -
é a diferença de energia (a “altura efetiva” que a partícula precisa tunelar), em joules. -
é a constante reduzida de Planck, .
Observação didática rápida: essa expressão vem do fato de que, dentro da barreira clássicamente proibida, a função de onda decai exponencialmente como
, e a probabilidade de atravessar uma região de comprimento
é proporcional ao quadrado disso, resultando em
. A fórmula é especialmente adequada quando
não é muito pequeno (barreira relativamente “espessa” em unidades de comprimento de decaimento).
Passo 3
Conversão de unidades e preparação dos números:
- Largura:
. - Energia
. Converter para joules usando :
- Constante reduzida:
. - Massa:
.
Passo 4
Cálculo de
. Primeiro calculamos
:
Fazendo a multiplicação:
Agora a raiz quadrada:
Finalmente,
Passo 5
Cálculo do expoente e da probabilidade
:
Portanto
Em porcentagem, isso é aproximadamente
.
Breve comentário sobre validade:
(metade do expoente), então a aproximação exponencial é razoável — não estamos em um limite extremo, mas a expressão
captura bem a ordem de grandeza da probabilidade de tunelamento.