Devido à resistência do ar, um corpo de massa m cai por uma altura h com velocidade constante de módulo v. Durante este percurso, qual o trabalho realizado pelo ar sobre o corpo?
(a) -m g h
(b) -m g h-\frac{m v^{2}}{2}
(c) Zero
(d) -m g h+\frac{m v^{2}}{2}
(e) -\frac{m v^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informação: massa do corpo \,m.
  • Informação: o corpo cai por uma altura \,h.
  • Informação: devido à resistência do ar, a velocidade tem módulo constante \,v durante todo o percurso.
  • Informação implícita: aceleração da gravidade é \,g (vertical para baixo).
  • Pergunta: qual o trabalho realizado pela força do ar sobre o corpo durante essa queda?
  • Opções fornecidas:
    (a) -m g h
    (b) -m g h-\dfrac{m v^{2}}{2}
    (c) Zero
    (d) -m g h+\dfrac{m v^{2}}{2}
    (e) -\dfrac{m v^{2}}{2}

Passo 2

Identificamos as forças que atuam no corpo durante a queda: o peso (força da gravidade) e a força de resistência do ar (arrasto). Vamos revisar o conceito de trabalho de uma força para poder calcular.
  • Definição de trabalho para uma força constante em um deslocamento retilíneo: \;W=\vec{F}\cdot\vec{s}=F\,s\cos\theta\;, onde:
    • \vec{F} é a força aplicada,
    • \vec{s} é o vetor deslocamento,
    • F e s são os módulos de \vec{F} e \vec{s},
    • \theta é o ângulo entre \vec{F} e \vec{s}.
  • No caso do peso, \vec{F}_g tem magnitude \,mg e aponta para baixo; o deslocamento também é vertical para baixo com módulo \,h. Como a força e o deslocamento têm a mesma direção, \theta=0 e \cos 0=1.
Portanto, o trabalho realizado pelo peso ao longo da descida é
W_g = mg\,h.

Passo 3

Agora usamos o teorema trabalho-energia (explicando-o bem): o trabalho total (soma dos trabalhos de todas as forças atuantes) é igual à variação da energia cinética do corpo:
W_{\text{total}} = \Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
Aqui a energia cinética K é dada por \;K=\dfrac{1}{2}mv^{2}\;, onde v é o módulo da velocidade.
Como o enunciado diz que a velocidade tem módulo constante \,v durante toda a queda, a energia cinética não muda: \Delta K = 0. Logo
W_{\text{total}} = 0.

Passo 4

O trabalho total é a soma do trabalho do peso com o trabalho da força do ar:
W_{\text{total}} = W_g + W_{\text{ar}}.
Como \;W_{\text{total}}=0\;, temos
W_g + W_{\text{ar}} = 0.
Isolando o trabalho da força do ar:
W_{\text{ar}} = -W_g.

Passo 5

Substituímos o valor de W_g encontrado no Passo 2:
W_{\text{ar}} = -\,mg\,h.
Isto significa que a força do ar realiza trabalho negativo de módulo igual ao trabalho positivo do peso, o que faz sentido fisicamente: o ar retira energia (dissipa) enquanto o peso entrega energia, e como a energia cinética não varia, o balanço é nulo.

Resposta

(a) -m g h

Exercícios relacionados