Para acessar a Linha Vermelha, um motorista atrasado faz uma curva com a máxima velocidade para que não haja deslizamento entre o pneu 3 o asfalto. Suponha que a curva possa ser modelada por um arco horizontal de círculo de raio R, e \theta seja o ângulo descrito. Conhecida a massa M do carro e o coeficiente de atrito estático \mu entre o pneu e o asfalto, calcule o trabalho realizado sobre o carro pela forca de atrit.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o trabalho realizado sobre o carro pela força de atrito quando o motorista percorre uma curva modelada por um arco de círculo de raio R e descreve um ângulo \theta, sabendo a massa M do carro e o coeficiente de atrito estático \mu. Informações dadas:
M,\quad \mu,\quad R,\quad \theta.
Não há deslizamento entre o pneu e o asfalto (isto é, atrito estático é o que age) e o carro faz a curva com a máxima velocidade que ainda evita deslizamento.

Passo 2

Entender o que é trabalho (aula rápida e prática). O trabalho diferencial realizado por uma força \vec{F} ao deslocar-se um pequeno vetor \mathrm{d}\vec{r} é
\mathrm{d}W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}.
Isto significa que só a componente da força na direção do deslocamento contribui para o trabalho: se a força for perpendicular ao deslocamento, o produto escalar é zero e não há trabalho.

Passo 3

Determinar a velocidade máxima v_{\max} permitida pela condição de não deslizamento (aqui usamos física básica: a força centrípeta necessária para manter o carro na curva é fornecida pelo atrito estático). A força centrípeta exigida é
F_{\text{c}}=\frac{M v^2}{R}.
O atrito estático máximo disponível é
F_{\text{atr,max}}=\mu N=\mu M g,
onde N=M g é a reação normal (assumimos piso horizontal e nenhuma outra força vertical extra). Para não haver deslizamento é necessário
\frac{M v^2}{R}\le \mu M g.
Cancelando M e resolvendo para v obtemos a velocidade máxima:
v_{\max}=\sqrt{\mu g R}.

Passo 4

Calcular a intensidade da força de atrito quando o carro faz a curva exatamente na velocidade máxima. Substituindo v_{\max} na expressão da força centrípeta:
F_{\text{atr}}=\frac{M v_{\max}^2}{R}=\frac{M(\mu g R)}{R}=\mu M g.
Logo, no caso considerado, a força de atrito tem intensidade \mu M g e aponta radialmente para o centro da curva (isto é, perpendicular à direção instantânea do deslocamento, que é tangente à curva).

Passo 5

Calcular o deslocamento ao longo do arco: o módulo do deslocamento percorrido ao descrever o ângulo \theta é o comprimento do arco
s=R\theta.

Passo 6

Analisar a geometria entre força e deslocamento (a etapa-chave didática). Em cada ponto do movimento o vetor deslocamento instantâneo é tangente ao círculo; a força de atrito estático responsável pela curva é radial (aponta para o centro). A tangente é perpendicular ao raio em todo ponto do círculo, logo o ângulo entre \vec{F}_{\text{atr}} e \mathrm{d}\vec{r} é 90^\circ. Portanto o trabalho diferencial é
\mathrm{d}W=\vec{F}_{\text{atr}}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=F_{\text{atr}}\,\mathrm{d}s\cos 90^\circ=0.
Integrando ao longo de todo o arco (soma de muitos \mathrm{d}W) obtemos trabalho total zero:
W=\int \mathrm{d}W=0.

Passo 7

Comentários didáticos finais e interpretação (pra você levar na prova): o atrito é estático e fornece somente a força centrípeta (direção radial). Como essa força é sempre perpendicular ao deslocamento tangencial, ela não realiza trabalho sobre o carro enquanto a velocidade for constante. Se a velocidade estivesse mudando (aceleração tangencial), haveria componente tangencial de atrito e, possivelmente, trabalho diferente de zero; mas no caso pedido (máxima velocidade sem deslizamento, movimento circular à velocidade constante), o trabalho é zero. Você pode anotar mentalmente: “força radial × deslocamento tangencial = 0”.

Resposta

0 J

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