40^{\circ} ) Uma esfera maciça e homogênea flutua na água com 1 / 5 do seu volume emerso. Calcule a densidade do material de que é feita a esfera. R: 0,8 \mathrm{~g} / \mathrm{ml}

Passo 1

Enunciado: Uma esfera maciça e homogênea flutua na água com \tfrac{1}{5} do seu volume emerso. Calcule a densidade do material de que é feita a esfera.
Dados fornecidos importantes:
\, - Fração do volume emerso: \dfrac{V_{\text{em}}}{V_{\text{total}}}=\dfrac{1}{5}.
\, - Portanto a fração submersa é \dfrac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}}=1-\dfrac{1}{5}.
\, - Presume-se água com densidade \rho_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL}á (valor padrão usual).
Pergunta a responder: qual é a densidade \rho_{\text{esfera}} do material da esfera?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): Princípio de Arquimedes.
O que ele diz em palavras simples: um corpo imerso total ou parcialmente em um fluido recebe uma força para cima (empuxo) igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Quando o corpo flutua em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso do corpo.
Em fórmulas isso é:
F_{\text{empuxo}}=\rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}\,g
P_{\text{corpo}}=\rho_{\text{corpo}}\,V_{\text{total}}\,g
onde explico cada símbolo:
\rho_{\text{fluido}} = densidade do fluido (aqui, água), em \mathrm{g}/\mathrm{mL} ou \mathrm{kg}/\mathrm{m^3}.
\rho_{\text{corpo}} = densidade do corpo (o que queremos).
V_{\text{sub}} = volume do corpo submerso.
V_{\text{total}} = volume total do corpo.
g = aceleração da gravidade (mesmo valor nos dois termos, por isso costuma cancelar).

Passo 3

Condição de equilíbrio de flutuação: o empuxo iguala o peso do corpo. Logo:
\rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}\,g=\rho_{\text{corpo}}\,V_{\text{total}}\,g.
Agora explico a ideia prática: o fator g aparece em ambos os lados porque tanto o peso do líquido deslocado quanto o peso do corpo dependem de g. Assim podemos simplificar dividindo os dois lados por g.

Passo 4

Cancelando g em ambos os lados obtemos:
\rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}=\rho_{\text{corpo}}\,V_{\text{total}}.
Isolando a densidade da esfera:
\rho_{\text{corpo}}=\rho_{\text{fluido}}\cdot\frac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}}.
Interpretação física dessa fórmula: a densidade do corpo é igual à densidade do fluido multiplicada pela fração do volume do corpo que está submersa. Intuitivamente, se o objeto está metade submerso sua densidade é metade da do fluido, e assim por diante.

Passo 5

Calcule a fração submersa a partir da informação do enunciado. Foi dado que a fração emersa é \dfrac{1}{5}, então a fração submersa é
\frac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.
Expliquei: subtraímos porque a soma das frações emersa e submersa é 1 (o volume total).

Passo 6

Substituímos os valores na fórmula do Passo 4. Usando \rho_{\text{fluido}}=\rho_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL}á e \dfrac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}}=\dfrac{4}{5}, temos
\rho_{\text{corpo}}=1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL}\times\frac{4}{5}.

Passo 7

Efetuando a multiplicação:
\rho_{\text{corpo}}=\frac{4}{5}\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL}=0,8\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL}.
Para referência rápida: em unidades do Sistema Internacional, 0,8\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL}=800\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m^3} (multiplicando por 1000).

Passo 8

Comentário final de incentivo: pronto — vimos passo a passo o porquê de igualar empuxo e peso, como cancelar g, e como a fração submersa dá diretamente a relação entre densidades. Na prova, basta lembrar a fórmula \rho_{\text{obj}}=\rho_{\text{fluido}}\cdot(fração submersa ) e fazer a conta.

Resposta

0,8\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL}

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