) Uma esfera maciça e homogênea flutua na água com
do seu volume emerso. Calcule a densidade do material de que é feita a esfera. R:
Passo 1
Enunciado: Uma esfera maciça e homogênea flutua na água com
do seu volume emerso. Calcule a densidade do material de que é feita a esfera.
Dados fornecidos importantes:
- Fração do volume emerso:
- Portanto a fração submersa é
- Presume-se água com densidade
(valor padrão usual).
Pergunta a responder: qual é a densidade do material da esfera?
Dados fornecidos importantes:
Pergunta a responder: qual é a densidade
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): Princípio de Arquimedes.
O que ele diz em palavras simples: um corpo imerso total ou parcialmente em um fluido recebe uma força para cima (empuxo) igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Quando o corpo flutua em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso do corpo.
Em fórmulas isso é:
O que ele diz em palavras simples: um corpo imerso total ou parcialmente em um fluido recebe uma força para cima (empuxo) igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Quando o corpo flutua em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso do corpo.
Em fórmulas isso é:
onde explico cada símbolo:
= densidade do fluido (aqui, água), em
ou
.
= densidade do corpo (o que queremos).
= volume do corpo submerso.
= volume total do corpo.
= aceleração da gravidade (mesmo valor nos dois termos, por isso costuma cancelar).
Passo 3
Condição de equilíbrio de flutuação: o empuxo iguala o peso do corpo. Logo:
Agora explico a ideia prática: o fator
aparece em ambos os lados porque tanto o peso do líquido deslocado quanto o peso do corpo dependem de
. Assim podemos simplificar dividindo os dois lados por
.
Passo 4
Cancelando
em ambos os lados obtemos:
Isolando a densidade da esfera:
Interpretação física dessa fórmula: a densidade do corpo é igual à densidade do fluido multiplicada pela fração do volume do corpo que está submersa. Intuitivamente, se o objeto está metade submerso sua densidade é metade da do fluido, e assim por diante.
Passo 5
Calcule a fração submersa a partir da informação do enunciado. Foi dado que a fração emersa é
, então a fração submersa é
Expliquei: subtraímos porque a soma das frações emersa e submersa é
(o volume total).
Passo 6
Substituímos os valores na fórmula do Passo 4. Usando
e
, temos
Passo 7
Efetuando a multiplicação:
Para referência rápida: em unidades do Sistema Internacional,
(multiplicando por
).
Passo 8
Comentário final de incentivo: pronto — vimos passo a passo o porquê de igualar empuxo e peso, como cancelar
, e como a fração submersa dá diretamente a relação entre densidades. Na prova, basta lembrar a fórmula
fração submersa
e fazer a conta.