48^{\circ} ) Um cilindro encontra-se mergulhado em dois líquidos ( \rho_{1}=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \rho_{2}=1,00 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ). Notase que há equilibrio quando 20 \% da altura do cilindro esta imerso no líquido. Determine a densidade do cilindro. R: 0,84 \mathrm{~g} / \mathrm{ml}

Passo 1

Enunciado e dados (interpretação feita para que o resultado bate com a resposta indicada): um cilindro está em equilíbrio atravessando a interface entre dois líquidos em camadas. Os dados que vamos usar são:
\rho_{1}=0{,}80\\ \mathrm{g/cm^{3}} (densidade do líquido superior — estou interpretando assim para compatibilizar com a resposta dada),
\rho_{2}=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^{3}} (densidade do líquido inferior),
e observa-se que 20\% da altura do cilindro está imerso no líquido mais denso (isto é, 20\% da altura do cilindro está na região com \rho_{2} e os outros 80\% estão na região com \rho_{1}).
A pergunta: determinar a densidade do cilindro.

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicação didática): princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Em linguagem prática: o cilindro, em equilíbrio, tem seu peso igual à soma dos pesos dos volumes de fluido que ele desloca em cada camada.
Seja V o volume total do cilindro e \rho_{c} a sua densidade (o que queremos achar). O peso do cilindro é
\text{peso do cilindro} = \rho_{c}\,V\,g,
onde g é a aceleração da gravidade (que vai cancelar e, portanto, nem precisamos de valor numérico para ela).
O empuxo total é a soma dos empuxos das duas camadas:
\text{empuxo} = \rho_{1}V_{1}g + \rho_{2}V_{2}g,
onde V_{1} e V_{2} são os volumes do cilindro ocupando, respectivamente, o líquido 1 e o líquido 2.
No equilíbrio:
\rho_{c}Vg = \rho_{1}V_{1}g + \rho_{2}V_{2}g.
Cancelamos g em ambos os lados porque é comum.

Passo 3

Expressando os volumes imersos em frações do volume total (explicação): se f_{1} é a fração do volume do cilindro que está no líquido 1 e f_{2} a fração no líquido 2, então
V_{1}=f_{1}V,\qquad V_{2}=f_{2}V,
e f_{1}+f_{2}=1 se o cilindro está totalmente submerso nas duas camadas (sem parte em ar). No enunciado foi dito que 20\% da altura está no líquido mais denso; interpretamos isso como f_{2}=0{,}20 e, portanto, f_{1}=0{,}80.
Substituindo na equação do empuxo:
\rho_{c}V = \rho_{1}f_{1}V + \rho_{2}f_{2}V.
Cancelando V, obtemos a fórmula simples
\rho_{c} = f_{1}\rho_{1} + f_{2}\rho_{2}.
Isso tem sentido físico: a densidade do corpo, quando ele está totalmente submerso atravessando duas camadas, é a média ponderada das densidades dos líquidos, ponderada pelas frações volumétricas ocupadas.

Passo 4

Aplicando os números (passo a passo com contas): colocamos f_{1}=0{,}80, f_{2}=0{,}20, \rho_{1}=0{,}80\\ \mathrm{g/cm^{3}} e \rho_{2}=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^{3}} na fórmula
\rho_{c} = 0{,}80\cdot 0{,}80 + 0{,}20\cdot 1{,}00.
Calculando cada termo:
0{,}80\cdot 0{,}80 = 0{,}64,
0{,}20\cdot 1{,}00 = 0{,}20.
Somando:
\rho_{c} = 0{,}64 + 0{,}20 = 0{,}84\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 5

Interpretação final e dica para prova (didática e motivacional): o raciocínio essencial em problemas assim é sempre escrever “peso do corpo = empuxo total”, expressar os volumes deslocados como frações do volume total e lembrar que as frações somam 1 quando o corpo está completamente submerso nas duas camadas. Se na prova aparecerem percentuais, transforme em fração decimal (por exemplo, 20\% = 0{,}20) e aplique a média ponderada das densidades. Você conseguiu — calma que dá pra fazer!

Resposta

\,0{,}84\\ \mathrm{g/mL}

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