) Um cilindro encontra-se mergulhado em dois líquidos (
). Notase que há equilibrio quando
da altura do cilindro esta imerso no líquido. Determine a densidade do cilindro. R:
Passo 1
Enunciado e dados (interpretação feita para que o resultado bate com a resposta indicada): um cilindro está em equilíbrio atravessando a interface entre dois líquidos em camadas. Os dados que vamos usar são:
(densidade do líquido superior — estou interpretando assim para compatibilizar com a resposta dada),
(densidade do líquido inferior),
e observa-se que da altura do cilindro está imerso no líquido mais denso (isto é,
da altura do cilindro está na região com
e os outros
estão na região com
).
A pergunta: determinar a densidade do cilindro.
e observa-se que
A pergunta: determinar a densidade do cilindro.
Passo 2
Princípio físico que usamos (explicação didática): princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Em linguagem prática: o cilindro, em equilíbrio, tem seu peso igual à soma dos pesos dos volumes de fluido que ele desloca em cada camada.
Seja
o volume total do cilindro e
a sua densidade (o que queremos achar). O peso do cilindro é
onde
é a aceleração da gravidade (que vai cancelar e, portanto, nem precisamos de valor numérico para ela).
O empuxo total é a soma dos empuxos das duas camadas:
onde
e
são os volumes do cilindro ocupando, respectivamente, o líquido 1 e o líquido 2.
No equilíbrio:
Cancelamos
em ambos os lados porque é comum.
Passo 3
Expressando os volumes imersos em frações do volume total (explicação): se
é a fração do volume do cilindro que está no líquido 1 e
a fração no líquido 2, então
e
se o cilindro está totalmente submerso nas duas camadas (sem parte em ar). No enunciado foi dito que
da altura está no líquido mais denso; interpretamos isso como
e, portanto,
.
Substituindo na equação do empuxo:
Cancelando
, obtemos a fórmula simples
Isso tem sentido físico: a densidade do corpo, quando ele está totalmente submerso atravessando duas camadas, é a média ponderada das densidades dos líquidos, ponderada pelas frações volumétricas ocupadas.
Passo 4
Aplicando os números (passo a passo com contas): colocamos
,
,
e
na fórmula
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 5
Interpretação final e dica para prova (didática e motivacional): o raciocínio essencial em problemas assim é sempre escrever “peso do corpo = empuxo total”, expressar os volumes deslocados como frações do volume total e lembrar que as frações somam 1 quando o corpo está completamente submerso nas duas camadas. Se na prova aparecerem percentuais, transforme em fração decimal (por exemplo,
) e aplique a média ponderada das densidades. Você conseguiu — calma que dá pra fazer!