44^{\circ} ) Uma esfera de massa 50 kg e de densidade de 2500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} esta em equilibrio mergulhada num líquido de densidade de 8,0.10^{2} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e sustentada por um fio ideal. Sendo g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine a intensidade da tracção do fio. R: 340 N

Passo 1

O enunciado pede a intensidade da tração do fio que sustenta uma esfera em equilíbrio, totalmente mergulhada em um líquido. Informações dadas:
  • massa da esfera: m=50\\ \mathrm{kg}.
  • densidade da esfera: \rho_{\text{esfera}}=2500\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • densidade do líquido: \rho_{\text{líquido}}=8,0\cdot 10^{2}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}í. (peguei este valor do enunciado)
  • aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
    Pergunta que vamos responder: calcular a tração T no fio quando a esfera está em equilíbrio.

Passo 2

Identificação das forças atuando na esfera (descrição física e sinalização):
  • peso da esfera, para baixo: W.
  • força de empuxo (para cima), exercida pelo líquido sobre a esfera: E.
  • tração no fio, para cima: T.
    Como a esfera está em equilíbrio (sem aceleração), a soma vetorial das forças verticais é zero. Em fórmula:
T + E - W = 0.
Dessa equação isolamos a tração:
T = W - E.
Vou calcular W e E separadamente e depois usar essa relação.

Passo 3

Cálculo do peso W: o peso é a força gravitacional sobre a massa, dado por
W = m\,g.
Aqui m é a massa da esfera e g é a aceleração da gravidade. Substituindo os valores:
W = 50\\ \mathrm{kg}\times 10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}=500\\ \mathrm{N}.
Expliquei passo a passo: multiplicamos massa por g para obter Newtons (unidade de força).

Passo 4

Cálculo do volume da esfera usando sua densidade: a densidade \rho relaciona massa e volume por \rho = m/V, logo
V=\frac{m}{\rho_{\text{esfera}}}.
Aqui V é o volume da esfera, m é a massa e \rho_{\text{esfera}} é a densidade da esfera. Substituindo:
V=\frac{50\\ \mathrm{kg}}{2500\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}}.
Fazendo a divisão:
V=0{,}02\\ \mathrm{m}^{3}.
Observação intuitiva: a esfera é relativamente densa, então seu volume é pequeno; o cálculo acima decorre diretamente da definição de densidade.

Passo 5

Cálculo do empuxo E (Princípio de Arquimedes): o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, ou seja
E=\rho_{\text{líquido}}\,V\,g.í
Aqui \rho_{\text{líquido}}í é a densidade do líquido, V é o volume deslocado (igual ao volume da esfera, pois está totalmente mergulhada) e g é a gravidade. Substituindo os valores (usei o volume que calculei no passo anterior e a densidade do enunciado):
E = (8,0\cdot 10^{2}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3})\times 0{,}02\\ \mathrm{m}^{3}\times 10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Agora calcule passo a passo: primeiro \rho_{\text{líquido}}\times V = 800\times 0{,}02 = 16í. Depois multiplica por g:
E = 16\times 10 = 160\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Aplicando a condição de equilíbrio que escrevemos no Passo 2, temos
T = W - E.
Substituindo os valores numéricos que já obtivemos ( W=500\\ \mathrm{N} e E=160\\ \mathrm{N}):
T = 500\\ \mathrm{N} - 160\\ \mathrm{N} = 340\\ \mathrm{N}.
Interpretação física rápida: o fio precisa fazer o “resto” do suporte que o empuxo não cobre do peso total da esfera.

Passo 7

Checagem rápida de consistência e intuição: o empuxo é menor que o peso (160 N < 500 N) porque a esfera é muito mais densa que o líquido; portanto a tração positiva faz sentido e é menor que o peso, maior que zero. O valor obtido confere com a resposta fornecida no enunciado.

Resposta

340\\ \mathrm{N}

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