) Uma esfera de massa 50 kg e de densidade de
esta em equilibrio mergulhada num líquido de densidade de
e sustentada por um fio ideal. Sendo
, determine a intensidade da tracção do fio. R: 340 N
Passo 1
O enunciado pede a intensidade da tração do fio que sustenta uma esfera em equilíbrio, totalmente mergulhada em um líquido. Informações dadas:
- massa da esfera:
. - densidade da esfera:
. - densidade do líquido:
. (peguei este valor do enunciado) - aceleração da gravidade:
.
Pergunta que vamos responder: calcular a traçãono fio quando a esfera está em equilíbrio.
Passo 2
Identificação das forças atuando na esfera (descrição física e sinalização):
- peso da esfera, para baixo:
. - força de empuxo (para cima), exercida pelo líquido sobre a esfera:
. - tração no fio, para cima:
.
Como a esfera está em equilíbrio (sem aceleração), a soma vetorial das forças verticais é zero. Em fórmula:
Dessa equação isolamos a tração:
Vou calcular
e
separadamente e depois usar essa relação.
Passo 3
Cálculo do peso
: o peso é a força gravitacional sobre a massa, dado por
Aqui
é a massa da esfera e
é a aceleração da gravidade. Substituindo os valores:
Expliquei passo a passo: multiplicamos massa por
para obter Newtons (unidade de força).
Passo 4
Cálculo do volume da esfera usando sua densidade: a densidade
relaciona massa e volume por
, logo
Aqui
é o volume da esfera,
é a massa e
é a densidade da esfera. Substituindo:
Fazendo a divisão:
Observação intuitiva: a esfera é relativamente densa, então seu volume é pequeno; o cálculo acima decorre diretamente da definição de densidade.
Passo 5
Cálculo do empuxo
(Princípio de Arquimedes): o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, ou seja
Aqui
é a densidade do líquido,
é o volume deslocado (igual ao volume da esfera, pois está totalmente mergulhada) e
é a gravidade. Substituindo os valores (usei o volume que calculei no passo anterior e a densidade do enunciado):
Agora calcule passo a passo: primeiro
. Depois multiplica por
:
Passo 6
Aplicando a condição de equilíbrio que escrevemos no Passo 2, temos
Substituindo os valores numéricos que já obtivemos (
e
):
Interpretação física rápida: o fio precisa fazer o “resto” do suporte que o empuxo não cobre do peso total da esfera.
Passo 7
Checagem rápida de consistência e intuição: o empuxo é menor que o peso (160 N < 500 N) porque a esfera é muito mais densa que o líquido; portanto a tração positiva faz sentido e é menor que o peso, maior que zero. O valor obtido confere com a resposta fornecida no enunciado.