A 40^{\circ} \mathrm{C}, uma mistura de água e fenol com composição global de 40 \% em massa de fenol se separa em duas fases. A fase rica em água contém 10 \% de fenol, e a fase rica em fenol contém 60% de fenol.
Calcule a proporção de cada fase usando a regra da alavanca.

Passo 1

O enunciado dá uma mistura que se separa em duas fases a 40^\circ\text{C}. As informações relevantes que temos são:
\text{Composição global (fração mássica de fenol)} = 40\%çãçãá
\text{Fase rica em água: fração mássica de fenol } x_W = 10\%áçãá
\text{Fase rica em fenol: fração mássica de fenol } x_P = 60\%çãá
A pergunta é: qual a proporção (fração mássica) de cada fase na mistura bifásica? Ou seja, queremos m_W/m_T e m_P/m_T, onde m_W é a massa da fase rica em água, m_P a massa da fase rica em fenol e m_T a massa total.

Passo 2

Conceito e balanço de massa (intuição da regra da alavanca).
  • A massa total de fenol presente na mistura deve ser a mesma antes e depois da separação em fases.
  • Se z é a fração mássica global de fenol, então a massa total de fenol é z m_T.
  • A massa de fenol contida nas fases é x_W m_W + x_P m_P.
    Portanto escrevemos o balanço de fenol:
z m_T = x_W m_W + x_P m_P.
Também sabemos que
m_T = m_W + m_P.
Essas duas equações são suficientes para determinar as razões m_W/m_T e m_P/m_T. A “regra da alavanca” é simplesmente a forma direta de resolver esse balanço linear.

Passo 3

Montando as equações com as incógnitas e isolando uma razão.
Substituímos m_P = m_T - m_W no balanço de fenol:
z m_T = x_W m_W + x_P (m_T - m_W).
Expandindo o lado direito:
z m_T = x_W m_W + x_P m_T - x_P m_W.
Agrupando termos em m_W e isolando:
z m_T - x_P m_T = (x_W - x_P) m_W.
Fatorando m_T no lado esquerdo:
(z - x_P) m_T = (x_W - x_P) m_W.
Dividindo ambos os lados por (x_W - x_P) m_T (note que x_W \neq x_P):
\frac{m_W}{m_T} = \frac{z - x_P}{x_W - x_P}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 (para uma forma mais estética) obtemos a forma usual:
\frac{m_W}{m_T} = \frac{x_P - z}{x_P - x_W}.

Passo 4

Fórmulas finais da regra da alavanca (forma geral) e interpretação:
\frac{m_W}{m_T} = \frac{x_P - z}{x_P - x_W}, \qquad \frac{m_P}{m_T} = \frac{z - x_W}{x_P - x_W}.
Interpretação rápida: a fração de uma fase é proporcional à “distância” entre a composição global e a composição da fase oposta ao longo da linha de composição (por isso “alavanca”: o ponto global está entre os dois pontos das fases e você mede as distâncias).

Passo 5

Aplicando os números do enunciado. Usamos x_W=10\%, x_P=60\% e z=40\%.
Calcule a fração da fase rica em água:
\frac{m_W}{m_T} = \frac{60\% - 40\%}{60\% - 10\%} = \frac{20\%}{50\%} = 0{,}4 = 40\%.
Calcule a fração da fase rica em fenol (ou use complemento 1-0{,}4):
\frac{m_P}{m_T} = \frac{40\% - 10\%}{60\% - 10\%} = \frac{30\%}{50\%} = 0{,}6 = 60\%.

Passo 6

Verificação numérica simples (assumindo m_T=100 g para ver na prática):
  • m_W = 40 g e m_P = 60 g.
  • Massa total de fenol calculada diretamente: 100\text{ g}\times 40\% = 40\text{ g}.
  • Massa de fenol nas fases: 40\text{ g}\times 10\% + 60\text{ g}\times 60\% = 4\text{ g} + 36\text{ g} = 40\text{ g}.
    Confere — balanço satisfeito.

Passo 7

Resumo didático rápido: a regra da alavanca é apenas um balanço de massa reapresentado como razões. Se ficar em dúvida na prova, escolha um total conveniente (por exemplo 100 g), escreva o balanço de fenol e resolva para as massas das fases — é a mesma coisa que usar as fórmulas acima.

Resposta

Fração da fase rica em água: 40\%
Fração da fase rica em fenol: 60\%

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