5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular seu valor.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Integrando:
. - Intervalo de integração: de
até . - Pedido: testar convergência e computar a integral quando convergente.
Passo 2
Explicar o que significa integral imprópria com limite infinito e como tratá-la.
Uma integral com limite superior infinito é definida como um limite de integrais próprias:
Uma integral com limite superior infinito é definida como um limite de integrais próprias:
Portanto vamos primeiro encontrar uma primitiva (antiderivada) de
, depois avaliar
e por fim tomar o limite quando
. Se esse limite for finito, a integral converge; se divergir (não existir ou ser infinito), a integral diverge.
Passo 3
Encontrar a primitiva usando integração por partes. Vou relembrar e explicar a fórmula: se
e
são funções diferenciáveis, então
onde
é uma primitiva de
e
é a derivada de
vezes
. Aqui escolhemos tentar simplificar o fator
por derivação, então tomamos:
Então
Aplicando integração por partes:
Agora calculo a última integral:
Portanto uma primitiva é
Passo 4
Avaliar a integral imprópria como limite usando a primitiva. Pelo que vimos,
Primeiro verificar o comportamento da primitiva quando
. Os termos em
são do tipo
e
. Ambos tendem a zero quando
porque a exponencial decrescente domina qualquer crescimento polinomial. Se for preciso demonstrar rapidamente:
Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador uma vez) dá
logo
e claramente
. Assim
quando
.
Portanto
Agora calculo
. Substituindo
em
:
Somando os coeficientes:
Logo
. Assim
Passo 5
Interpretação final: o limite existe e é finito, portanto a integral imprópria converge. O valor calculado é
.