5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
  1. \int_{2}^{\infty} y e^{-3 y} d y

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria \displaystyle \int_{2}^{\infty} y e^{-3y}\,dy é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular seu valor.
Informações dadas:
  • Integrando: \displaystyle y e^{-3y}.
  • Intervalo de integração: de \displaystyle y=2 até \displaystyle y=\infty.
  • Pedido: testar convergência e computar a integral quando convergente.

Passo 2

Explicar o que significa integral imprópria com limite infinito e como tratá-la.
Uma integral com limite superior infinito é definida como um limite de integrais próprias:
\int_{2}^{\infty} y e^{-3y}\,dy \equiv \lim_{b\to\infty} \int_{2}^{b} y e^{-3y}\,dy.
Portanto vamos primeiro encontrar uma primitiva (antiderivada) de \displaystyle y e^{-3y}, depois avaliar \int_{2}^{b} e por fim tomar o limite quando b\to\infty. Se esse limite for finito, a integral converge; se divergir (não existir ou ser infinito), a integral diverge.

Passo 3

Encontrar a primitiva usando integração por partes. Vou relembrar e explicar a fórmula: se u=u(y) e dv=dv(y) são funções diferenciáveis, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde v é uma primitiva de dv e du é a derivada de u vezes dy. Aqui escolhemos tentar simplificar o fator y por derivação, então tomamos:
u = y,\qquad dv = e^{-3y}\,dy.
Então
du = dy,\qquad v = \int e^{-3y}\,dy = -\tfrac{1}{3}e^{-3y}.
Aplicando integração por partes:
\int y e^{-3y}\,dy = u v - \int v\,du = y\left(-\tfrac{1}{3}e^{-3y}\right) - \int\left(-\tfrac{1}{3}e^{-3y}\right)dy.
Agora calculo a última integral:
-\int\left(-\tfrac{1}{3}e^{-3y}\right)dy = \tfrac{1}{3}\int e^{-3y}\,dy = \tfrac{1}{3}\left(-\tfrac{1}{3}e^{-3y}\right) = -\tfrac{1}{9}e^{-3y}.
Portanto uma primitiva é
F(y) = -\tfrac{1}{3}y e^{-3y} - \tfrac{1}{9}e^{-3y} + C.

Passo 4

Avaliar a integral imprópria como limite usando a primitiva. Pelo que vimos,
\int_{2}^{\infty} y e^{-3y}\,dy = \lim_{b\to\infty} \bigl(F(b)-F(2)\bigr).
Primeiro verificar o comportamento da primitiva quando b\to\infty. Os termos em F(b) são do tipo b e^{-3b} e e^{-3b}. Ambos tendem a zero quando b\to\infty porque a exponencial decrescente domina qualquer crescimento polinomial. Se for preciso demonstrar rapidamente:
\lim_{b\to\infty} b e^{-3b} = \lim_{b\to\infty} \frac{b}{e^{3b}}.
Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador uma vez) dá
\lim_{b\to\infty} \frac{1}{3e^{3b}} = 0,
logo b e^{-3b}\to 0 e claramente e^{-3b}\to 0. Assim F(b)\to 0 quando b\to\infty.
Portanto
\int_{2}^{\infty} y e^{-3y}\,dy = 0 - F(2) = -F(2).
Agora calculo F(2). Substituindo y=2 em F(y):
F(2) = -\tfrac{1}{3}\cdot 2\; e^{-6} - \tfrac{1}{9}e^{-6} = -\left(\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{9}\right)e^{-6}.
Somando os coeficientes:
\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{9} = \tfrac{6}{9} + \tfrac{1}{9} = \tfrac{7}{9}.
Logo F(2) = -\tfrac{7}{9}e^{-6}. Assim
\int_{2}^{\infty} y e^{-3y}\,dy = -F(2) = \tfrac{7}{9}e^{-6}.

Passo 5

Interpretação final: o limite existe e é finito, portanto a integral imprópria converge. O valor calculado é \tfrac{7}{9}e^{-6}.

Resposta

\dfrac{7}{9}e^{-6}

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