5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
-
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular o seu valor. Informações dadas:
- Integrando:
. - Intervalo: de
até , portanto a integral é imprópria por causa do limite inferior .
Passo 2
Transformar a integral imprópria em um limite. Por definição,
Logo, vamos calcular a integral definida
e depois tomar o limite quando
.
Passo 3
Para integrar
usamos a fórmula de integração por partes:
Explicando:
e
são escolhas feitas para dividir o integrando;
é a derivada de
em relação a
multiplicada por
;
é uma antiderivada de
.
Escolhas convenientes:
-
então . -
então uma antiderivada é (porque ).
Aplicando integração por partes:
Agora integrar o termo restante:
Portanto uma primitiva é
Passo 4
Avaliar a integral definida de
até
usando a primitiva encontrada:
Calcular os valores nas extremidades:
- Em
:
- Em
:
Subtraindo, obtemos
Passo 5
Tomar o limite quando
:
Precisamos analisar os dois termos problemáticos
e
quando
.
Faça a substituição
(então
quando
). Então
Para ver que
quando
, aplique a regra de L’Hôpital escrevendo
Derivando numerador e denominador:
Logo
, o que implica
. Além disso
claramente, pois a exponencial decai para zero.
Portanto os termos com
e
desaparecem no limite.
Passo 6
Com os termos que vão a zero, o limite fica simplesmente
Assim a integral é convergente e seu valor é
. Força aí — deu trabalho, mas rolou!