5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
  1. \int_{-\infty}^{0} z e^{2 z} d z

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} z e^{2z}\,dz
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular o seu valor. Informações dadas:
  • Integrando: z e^{2z}.
  • Intervalo: de -\infty até 0, portanto a integral é imprópria por causa do limite inferior -\infty.

Passo 2

Transformar a integral imprópria em um limite. Por definição,
\int_{-\infty}^{0} z e^{2z}\,dz = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} z e^{2z}\,dz.
Logo, vamos calcular a integral definida \int_{a}^{0} z e^{2z}\,dz e depois tomar o limite quando a\to -\infty.

Passo 3

Para integrar \int z e^{2z}\,dz usamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando: u e dv são escolhas feitas para dividir o integrando; du é a derivada de u em relação a z multiplicada por dz; v é uma antiderivada de dv.
Escolhas convenientes:
  • u = z então du = dz.
  • dv = e^{2z}\,dz então uma antiderivada é v = \dfrac{1}{2}e^{2z} (porque \dfrac{d}{dz}\big(\tfrac{1}{2}e^{2z}\big)=e^{2z}).
Aplicando integração por partes:
\int z e^{2z}\,dz = u v - \int v\,du = \frac{1}{2} z e^{2z} - \int \frac{1}{2} e^{2z}\,dz.
Agora integrar o termo restante:
\int \frac{1}{2} e^{2z}\,dz = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2z} = \frac{1}{4}e^{2z}.
Portanto uma primitiva é
\int z e^{2z}\,dz = \frac{1}{2} z e^{2z} - \frac{1}{4} e^{2z} + C.

Passo 4

Avaliar a integral definida de a até 0 usando a primitiva encontrada:
\int_{a}^{0} z e^{2z}\,dz = \left[\frac{1}{2} z e^{2z} - \frac{1}{4} e^{2z}\right]_{z=a}^{z=0}.
Calcular os valores nas extremidades:
  • Em z=0:
\frac{1}{2}\cdot 0\cdot e^{0} - \frac{1}{4}e^{0} = -\frac{1}{4}.
  • Em z=a:
\frac{1}{2} a e^{2a} - \frac{1}{4} e^{2a}.
Subtraindo, obtemos
\int_{a}^{0} z e^{2z}\,dz = -\frac{1}{4} -\left(\frac{1}{2} a e^{2a} - \frac{1}{4} e^{2a}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} a e^{2a} + \frac{1}{4} e^{2a}.

Passo 5

Tomar o limite quando a\to -\infty:
\int_{-\infty}^{0} z e^{2z}\,dz = \lim_{a\to -\infty}\left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{2} a e^{2a} + \frac{1}{4} e^{2a}\right).
Precisamos analisar os dois termos problemáticos \;a e^{2a}\; e \;e^{2a}\; quando a\to -\infty.
Faça a substituição t=-a (então t\to +\infty quando a\to -\infty). Então
a e^{2a} = -t e^{-2t}.
Para ver que t e^{-2t}\to 0 quando t\to\infty, aplique a regra de L’Hôpital escrevendo
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^{2t}}.
Derivando numerador e denominador:
\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2e^{2t}}=0.
Logo \lim_{t\to\infty} t e^{-2t}=0, o que implica \lim_{a\to -\infty} a e^{2a}=0. Além disso \lim_{a\to -\infty} e^{2a}=0 claramente, pois a exponencial decai para zero.
Portanto os termos com a e e^{2a} desaparecem no limite.

Passo 6

Com os termos que vão a zero, o limite fica simplesmente
\int_{-\infty}^{0} z e^{2z}\,dz = -\frac{1}{4}.
Assim a integral é convergente e seu valor é -\tfrac{1}{4}. Força aí — deu trabalho, mas rolou!

Resposta

-\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados