5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
  1. \int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx
é convergente ou divergente, e, se for convergente, calcular o seu valor. As informações relevantes dadas no enunciado são:
  • A função integranda é f(x)=x^{3} e^{-x^{4}}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,\infty) — ou seja, é uma integral imprópria própria por causa dos limites infinitos.
  • Não há figura nem outra informação adicional.

Passo 2

Breve aula (intuitiva) sobre convergência de integrais impróprias e tipos de convergência que vamos usar:
  • Uma integral imprópria \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx é dita convergente se o limite das integrais em intervalos finitos convergir quando os limites vão para \pm\infty.
  • Se \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\,dx < \infty, dizemos que a integral converge absolutamente. A convergência absoluta implica convergência (sem ambiguidades).
  • Para funções ímpares (ou seja, f(-x)=-f(x)), quando a integral é tomada em um intervalo simétrico [-A,A] tem-se \int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 0. Se houver convergência (em particular se houver convergência absoluta), o limite quando A\to\infty também será 0.
    Esses conceitos bastam para resolver este exercício de forma direta.

Passo 3

Verificar se a função é ímpar ou par — isso vai nos ajudar com simetria.
Defina f(x)=x^{3} e^{-x^{4}}. Então
f(-x)=(-x)^{3} e^{-(-x)^{4}} = -x^{3} e^{-x^{4}} = -f(x).
Portanto f é uma função ímpar.

Passo 4

Usar a simetria: para qualquer A>0,
\int_{-A}^{A} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx = 0,
porque a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Porém, para concluir que a integral imprópria sobre (-\infty,\infty) converge para 0, precisamos garantir que o limite quando A\to\infty exista — uma forma segura é mostrar convergência absoluta, isto é, que
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl|x^{3} e^{-x^{4}}\bigr|\,dx < \infty.

Passo 5

Calcular a integral do valor absoluto no semieixo positivo (a integral no semieixo negativo será igual por simetria). Note que
\bigl|x^{3} e^{-x^{4}}\bigr| = |x|^{3} e^{-x^{4}}.
Para x\ge 0 isso é simplesmente x^{3} e^{-x^{4}}. Então calculemos
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx.
Fazemos a substituição padrão para potências x^{4}: coloque
t = x^{4}\quad\Rightarrow\quad dt = 4x^{3}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{dt}{4}.
Quando x=0 tem-se t=0; quando x\to\infty tem-se t\to\infty. Portanto
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,\frac{dt}{4} = \frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt.
A integral exponencial é conhecida:
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1.
Logo
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx = \frac{1}{4}.

Passo 6

Avaliar a integral do valor absoluto em todo \mathbb{R}. Por simetria (a função x\mapsto |x|^{3} e^{-x^{4}} é par),
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl|x^{3} e^{-x^{4}}\bigr|\,dx = 2\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx = 2\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
Portanto a integral do valor absoluto é finita, ou seja, a integral original converge absolutamente. Isso garante que a integral imprópria existe sem ambiguidades.

Passo 7

Concluir o valor da integral original usando a propriedade de funções ímpares: como f é ímpar e a integral converge absolutamente, temos
\int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx = 0.
(Em palavras: as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente por simetria, e a convergência absoluta garante que esse cancelamento é legítimo.)

Resposta

Convergente (absolutamente). \displaystyle 0

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