5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}} d x
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx
é convergente ou divergente, e, se for convergente, calcular o seu valor. As informações relevantes dadas no enunciado são:
A função integranda é f(x)=x^{3} e^{-x^{4}}.
O intervalo de integração é (-\infty,\infty) — ou seja, é uma integral imprópria própria por causa dos limites infinitos.
Não há figura nem outra informação adicional.
Passo 2
Breve aula (intuitiva) sobre convergência de integrais impróprias e tipos de convergência que vamos usar:
Uma integral imprópria \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx é dita convergente se o limite das integrais em intervalos finitos convergir quando os limites vão para \pm\infty.
Se \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\,dx < \infty, dizemos que a integral converge absolutamente. A convergência absoluta implica convergência (sem ambiguidades).
Para funções ímpares (ou seja, f(-x)=-f(x)), quando a integral é tomada em um intervalo simétrico [-A,A] tem-se \int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 0. Se houver convergência (em particular se houver convergência absoluta), o limite quando A\to\infty também será 0.
Esses conceitos bastam para resolver este exercício de forma direta.
Passo 3
Verificar se a função é ímpar ou par — isso vai nos ajudar com simetria.
Defina f(x)=x^{3} e^{-x^{4}}. Então
porque a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Porém, para concluir que a integral imprópria sobre (-\infty,\infty) converge para 0, precisamos garantir que o limite quando A\to\infty exista — uma forma segura é mostrar convergência absoluta, isto é, que
Portanto a integral do valor absoluto é finita, ou seja, a integral original converge absolutamente. Isso garante que a integral imprópria existe sem ambiguidades.
Passo 7
Concluir o valor da integral original usando a propriedade de funções ímpares: como f é ímpar e a integral converge absolutamente, temos
\int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx = 0.
(Em palavras: as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente por simetria, e a convergência absoluta garante que esse cancelamento é legítimo.)