5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2 x}+3} d x
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2x}+3}\,dx
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular o seu valor. Informações relevantes dadas:
A função integranda é f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{2x}+3}.
O intervalo de integração é [0,\infty), logo a integral é imprópria devido ao limite superior infinito.
A integranda é positiva para todo x\in[0,\infty) e é contínua em [0,\infty) (não há descontinuidade finita), portanto a única questão de impropriedade é o comportamento quando x\to\infty.
Passo 2
Estratégia: procurar uma mudança de variável que simplifique a expressão. Note que o numerador contém e^{x} e o denominador contém e^{2x}=(e^{x})^{2}; isso sugere usar a substituição
u=e^{x},
porque então du=e^{x}\,dx aparece naturalmente. Vou explicar por que essa substituição é útil: ela transforma uma função de e^{x} em uma função racional em u, e integrais da forma \int \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du têm uma primitiva conhecida envolvendo arctan.
onde a>0. Vou aplicar essa fórmula com a=\sqrt{3}. Explicando rapidamente por que essa fórmula vale: fazendo a mudança v=\dfrac{u}{a} temos du=a\,dv e a integral fica \int \dfrac{a\,dv}{a^{2}v^{2}+a^{2}}=\int \dfrac{dv}{v^{2}+1}=\arctan v, que devolve \dfrac{1}{a}\arctan\!\left(\dfrac{u}{a}\right).