5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
  1. \int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2 x}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2x}+3}\,dx
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular o seu valor. Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{2x}+3}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), logo a integral é imprópria devido ao limite superior infinito.
  • A integranda é positiva para todo x\in[0,\infty) e é contínua em [0,\infty) (não há descontinuidade finita), portanto a única questão de impropriedade é o comportamento quando x\to\infty.

Passo 2

Estratégia: procurar uma mudança de variável que simplifique a expressão. Note que o numerador contém e^{x} e o denominador contém e^{2x}=(e^{x})^{2}; isso sugere usar a substituição
u=e^{x},
porque então du=e^{x}\,dx aparece naturalmente. Vou explicar por que essa substituição é útil: ela transforma uma função de e^{x} em uma função racional em u, e integrais da forma \int \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du têm uma primitiva conhecida envolvendo arctan.

Passo 3

Faço a substituição u=e^{x}. Então
du=e^{x}\,dx.
Os limites mudam assim:
  • quando x=0, u=e^{0}=1;
  • quando x\to\infty, u=e^{x}\to\infty.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2x}+3}\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^{2}+3}\,du.
Aqui usei explicitamente o fato de que peguei u=e^{x} e du=e^{x}\,dx.

Passo 4

Agora preciso integrar \dfrac{1}{u^{2}+3} no intervalo [1,\infty). Lembrando a fórmula básica:
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
onde a>0. Vou aplicar essa fórmula com a=\sqrt{3}. Explicando rapidamente por que essa fórmula vale: fazendo a mudança v=\dfrac{u}{a} temos du=a\,dv e a integral fica \int \dfrac{a\,dv}{a^{2}v^{2}+a^{2}}=\int \dfrac{dv}{v^{2}+1}=\arctan v, que devolve \dfrac{1}{a}\arctan\!\left(\dfrac{u}{a}\right).
Aplicando aqui:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^{2}+3}\,du = \left.\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right)\right|_{1}^{\infty}.

Passo 5

Avalio o limite superior. Sabendo que \displaystyle\lim_{u\to\infty}\arctan\!\left(\dfrac{u}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{2}, obtemos
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^{2}+3}\,du = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right).
Agora calculo \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right). Conhecemos que \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, portanto \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6}.

Passo 6

Substituindo \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6} na expressão do passo anterior:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^{2}+3}\,du = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
Como a integral transformada tem valor finito, a integral original também converge e seu valor é \dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}.

Resposta

\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}

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