5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
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Passo 1
O problema pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente; se for convergente, calcular o seu valor. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A integral é imprópria por ter limites
e . - A função integranda é
, que está definida para todo porque sempre. - Observação útil (apenas lista de dado, sem resolver ainda):
parece ter simetria em relação à origem (possível função par).
Passo 2
Explorar a simetria da função para simplificar a integral. Verificar
:
Como
é par, a integral sobre toda a reta se reduz ao dobro da integral de
a
:
Isto também mostra que não há problemas de integrabilidade na vizinhança de
(função é contínua em torno de
). Resta analisar a parte
.
Passo 3
Fazer uma substituição que simplifique o fator
. Tome
Calcular
: diferenciando,
, portanto
Os limites transformam-se assim: quando
tem
; quando
tem
. Substituindo na integral de
a
:
Passo 4
Calcular a integral em
. Lembrar a primitiva padrão:
onde
. Aqui
, então
Avaliar os limites:
quando
, e
. Logo
Voltando ao fator
da substituição:
Passo 5
Retornar à integral original usando a simetria (Passo 2): multiplicar por
:
Passo 6
Comentário sobre convergência (justificativa): o integrando é contínuo em todo
(denominador nunca nulo) e, para grandes
, comporta-se como
e
converge; assim a integral imprópria em
converge. Combinado com a continuidade no restante do domínio, a integral sobre
é convergente e seu valor foi calculado.