5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
  1. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2}}{9+x^{6}} d x

Passo 1

O problema pede para determinar se a integral
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx
é convergente ou divergente; se for convergente, calcular o seu valor. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A integral é imprópria por ter limites -\infty e \infty.
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{x^{2}}{9+x^{6}}, que está definida para todo x\in\mathbb{R} porque 9+x^{6}>0 sempre.
  • Observação útil (apenas lista de dado, sem resolver ainda): f(x) parece ter simetria em relação à origem (possível função par).

Passo 2

Explorar a simetria da função para simplificar a integral. Verificar f(-x):
f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{9+(-x)^{6}}=\frac{x^{2}}{9+x^{6}}=f(x).
Como f é par, a integral sobre toda a reta se reduz ao dobro da integral de 0 a \infty:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx = 2\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx.
Isto também mostra que não há problemas de integrabilidade na vizinhança de 0 (função é contínua em torno de 0). Resta analisar a parte [0,\infty).

Passo 3

Fazer uma substituição que simplifique o fator x^{6}. Tome
u = x^{3}.
Calcular du: diferenciando, du = 3x^{2}\,dx, portanto
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Os limites transformam-se assim: quando x=0 tem u=0; quando x\to\infty tem u\to\infty. Substituindo na integral de 0 a \infty:
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{9+u^{2}}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u. Lembrar a primitiva padrão:
\int\frac{1}{a^{2}+u^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
onde a>0. Aqui a=3, então
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{9+u^{2}}\,du = \left[\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{u}{3}\right)\right]_{0}^{\infty}.
Avaliar os limites: \arctan\!\left(\frac{u}{3}\right)\to\frac{\pi}{2} quando u\to\infty, e \arctan(0)=0. Logo
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{9+u^{2}}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}.
Voltando ao fator \dfrac{1}{3} da substituição:
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{18}.

Passo 5

Retornar à integral original usando a simetria (Passo 2): multiplicar por 2:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx = 2\cdot\frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{9}.

Passo 6

Comentário sobre convergência (justificativa): o integrando é contínuo em todo \mathbb{R} (denominador nunca nulo) e, para grandes |x|, comporta-se como
\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\sim \frac{x^{2}}{x^{6}}=\frac{1}{x^{4}},
e \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx converge; assim a integral imprópria em \infty converge. Combinado com a continuidade no restante do domínio, a integral sobre (-\infty,\infty) é convergente e seu valor foi calculado.

Resposta

\dfrac{\pi}{9}

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