5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente e, se for convergente, calculá‑la. Informação importante dada: o integrando
está definido para
mas tem problema em
(pois
e
). Portanto trata‑se de uma integral imprópria no extremo inferior
. A tarefa será: escrever a integral como limite, avaliar esse limite e concluir sobre convergência.
Passo 2
Regra para integrals impróprias (lembrete didático): quando uma integral tem uma descontinuidade no ponto
(aqui), define‑se
Se esse limite existir e for finito, a integral é convergente; se o limite não existir ou for infinito, é divergente. Então precisamos calcular
.
Passo 3
Escolha de substituição (explicando o porquê): o denominador tem
, que sugere a substituição
porque assim
fica simples. Além disso
vira
, o que também simplifica. Vamos aplicar
.
Passo 4
Detalhes da substituição:
- Tome
. Então . - Temos
. - Temos
. - Quando
(com ), . Quando , .
Substituindo na integral com limite:
Agora simplificar o integrando:
. Assim
Passo 5
Agora usamos a definição por limite:
onde coloquei
; note que
quando
. Assim basta calcular
.
Passo 6
Calcular a primitiva de
(explicando passo a passo via integração por partes):
Para escolha
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes
, obtemos
Para
Portanto
Como
, isso fica
Passo 7
Avaliar o limite quando
. Precisamos da informação clássica sobre
. Vou mostrar por L’Hôpital:
Escreva . Quando
temos
e
, então é uma forma
. Aplicando L’Hôpital:
Escreva
Logo
. Também
. Assim voltando à expressão do Passo 6:
Passo 8
Retornando ao fator
que tínhamos no Passo 5:
Como o limite é finito (
), concluímos que a integral imprópria é convergente e seu valor é
.