5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
  1. \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx
é convergente ou divergente e, se for convergente, calculá‑la. Informação importante dada: o integrando \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} está definido para 0<x\le1 mas tem problema em x=0 (pois \ln x\to -\infty e \sqrt{x}\to0). Portanto trata‑se de uma integral imprópria no extremo inferior x=0. A tarefa será: escrever a integral como limite, avaliar esse limite e concluir sobre convergência.

Passo 2

Regra para integrals impróprias (lembrete didático): quando uma integral tem uma descontinuidade no ponto 0 (aqui), define‑se
\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx := \lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.
Se esse limite existir e for finito, a integral é convergente; se o limite não existir ou for infinito, é divergente. Então precisamos calcular \displaystyle \lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.

Passo 3

Escolha de substituição (explicando o porquê): o denominador tem \sqrt{x}, que sugere a substituição x=t^{2} porque assim \sqrt{x}=t fica simples. Além disso \ln x vira \ln(t^{2}), o que também simplifica. Vamos aplicar x=t^{2}.

Passo 4

Detalhes da substituição:
  • Tome x=t^{2}. Então dx=2t\,dt.
  • Temos \sqrt{x}=t.
  • Temos \ln x=\ln(t^{2})=2\ln t.
  • Quando x=a (com a>0), t=\sqrt{a}. Quando x=1, t=1.
    Substituindo na integral com limite:
\int_{a}^{1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{\sqrt{a}}^{1} \frac{2\ln t}{t}\cdot(2t)\,dt.
Agora simplificar o integrando: \dfrac{2\ln t}{t}\cdot(2t)=4\ln t. Assim
\int_{a}^{1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{\sqrt{a}}^{1}4\ln t\,dt.

Passo 5

Agora usamos a definição por limite:
\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\int_{\sqrt{a}}^{1}4\ln t\,dt = 4\lim_{b\to 0^+}\int_{b}^{1}\ln t\,dt,
onde coloquei b=\sqrt{a}; note que b\to0^+ quando a\to0^+. Assim basta calcular \displaystyle \lim_{b\to0^+}\int_{b}^{1}\ln t\,dt.

Passo 6

Calcular a primitiva de \ln t (explicando passo a passo via integração por partes):
Para \int \ln t\,dt escolha u=\ln t e dv=dt. Então du=\dfrac{1}{t}\,dt e v=t. Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int \ln t\,dt = t\ln t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln t - \int 1\,dt = t\ln t - t + C.
Portanto
\int_{b}^{1}\ln t\,dt = \bigl[t\ln t - t\bigr]_{t=b}^{t=1} = (1\cdot\ln 1 - 1) - (b\ln b - b).
Como \ln 1=0, isso fica
\int_{b}^{1}\ln t\,dt = -1 - (b\ln b - b) = -1 - b\ln b + b.

Passo 7

Avaliar o limite quando b\to 0^+. Precisamos da informação clássica sobre \lim_{b\to0^+} b\ln b. Vou mostrar por L’Hôpital:
Escreva b\ln b = \dfrac{\ln b}{1/b}. Quando b\to0^+ temos \ln b\to -\infty e 1/b \to +\infty, então é uma forma -\infty/\infty. Aplicando L’Hôpital:
\lim_{b\to0^+}\frac{\ln b}{1/b} = \lim_{b\to0^+}\frac{(1/b)}{(-1/b^{2})} = \lim_{b\to0^+}(-b)=0.
Logo \displaystyle \lim_{b\to0^+} b\ln b = 0. Também \lim_{b\to0^+} b = 0. Assim voltando à expressão do Passo 6:
\lim_{b\to0^+}\int_{b}^{1}\ln t\,dt = \lim_{b\to0^+}\bigl(-1 - b\ln b + b\bigr) = -1 - 0 + 0 = -1.

Passo 8

Retornando ao fator 4 que tínhamos no Passo 5:
\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = 4\cdot\left(\lim_{b\to0^+}\int_{b}^{1}\ln t\,dt\right) = 4\cdot(-1) = -4.
Como o limite é finito ( -4), concluímos que a integral imprópria é convergente e seu valor é -4.

Resposta

-4

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