6.40 An open-circuit wind tunnel draws in air from the atmosphere through a well-contoured nozzle. In the test section, where the flow is straight and nearly uniform, a static pressure tap is drilled into the tunnel wall. A manometer connected to the tap shows that static pressure within the tunnel is 45 mm of water below atmospheric. Assume that the air is incompressible, and at 25^{\circ} \mathrm{C}, 100 \mathrm{kPa} (abs). Calculate the air speed in the wind-tunnel test section.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • A pressão estática dentro do túnel é 45\\ \text{mm} de água abaixo da atmosférica. Ou seja, a diferença de pressão entre atmosfera e seção de ensaio é h=45\\ \text{mm} de água.
    • Temperatura e pressão ambiente: 25^\circ\mathrm{C} e 100\\ \mathrm{kPa} (absolutos).
    • Admitir que o ar é incompressível (e fluxo estacionário, sem perdas notáveis).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a velocidade do ar na seção de ensaio do túnel (velocidade média onde foi feita a tomada de pressão).

Passo 2

Converter a leitura do manômetro (altura de água) para diferença de pressão em unidades SI.
  • Primeiro converto h para metros: h = 45\\ \text{mm} = 0,045\\ \text{m}.
  • A relação hidrostática entre diferença de pressão \Delta p e coluna de fluido é \Delta p = \rho_{\text{H}_2\text{O}}\,g\,h,onde \rho_{\text{H}_2\text{O}} é a densidade da água (aprox. 1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}) e g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}).
  • Substituindo: \Delta p = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}045 = 441{,}45\\ \mathrm{Pa}.Arredondando razoavelmente: \Delta p \approx 441{,}5\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Calcular a densidade do ar nas condições dadas usando a equação dos gases ideais.
  • Temperatura absoluta: T = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão absoluta: p = 100\\ \mathrm{kPa} = 100000\\ \mathrm{Pa}.
  • Constante específica do ar: R = 287\\ \mathrm{J\;kg^{-1}\;K^{-1}}.
  • Densidade pelo gás ideal: \rho_{\text{ar}} = \frac{p}{R\,T}.Calculo: R\,T = 287\cdot 298{,}15 = 85569{,}05,
\rho_{\text{ar}} = \frac{100000}{85569{,}05} \approx 1{,}1680\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.

Passo 4

Relacionar a diferença de pressão medida com a velocidade usando o princípio de Bernoulli (explicado de forma direta e didática).
  • A forma simplificada da equação de Bernoulli, entre um ponto no ar livre (atmosfera, onde a velocidade de entrada pode ser considerada praticamente zero em relação ao túnel) e o ponto dentro da seção de ensaio, é p_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V_{\infty}^2 = p_{\text{test}} + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V_{\text{test}}^2.
  • Se tomarmos o ponto atmosférico remoto com velocidade V_{\infty}\approx 0, então a diferença de pressão é puramente dinâmica: p_{\text{atm}} - p_{\text{test}} = \Delta p = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V_{\text{test}}^2.
  • Isolando a velocidade: V_{\text{test}} = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho_{\text{ar}}}}.
  • Observação didática: \Delta p aqui é a “pressão dinâmica” que aparece quando o ar acelera através do bocal do túnel; a equação acima é válida sob as hipóteses dadas (incompressível, sem elevação significativa, sem perdas importantes).

Passo 5

Calcular numericamente a velocidade usando os valores obtidos.
  • Substituindo \Delta p = 441{,}45\\ \mathrm{Pa} e \rho_{\text{ar}} = 1{,}1680\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}: V_{\text{test}} = \sqrt{\frac{2\cdot 441{,}45}{1{,}1680}} = \sqrt{\frac{882{,}9}{1{,}1680}}.
  • Calculo intermediário: \frac{882{,}9}{1{,}1680} \approx 756{,}32,
V_{\text{test}} \approx \sqrt{756{,}32} \approx 27{,}50\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Para dar uma intuição: em km/h isso é 27{,}50\cdot 3{,}6 \approx 99{,}0\\ \mathrm{km\,h^{-1}}.
  • Força empática: pronto — chegamos à velocidade passo a passo; você consegue reproduzir isso na prova seguindo as mesmas etapas.

Resposta

V_{\text{test}} \approx 27{,}5\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
V_{\text{test}} \approx 99{,}0\\ \mathrm{km\,h^{-1}}

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