2.9 The velocity for a steady, incompressible flow in the x y plane is given by \vec{V}=\hat{i} A / x+\hat{j} A y / x^{2}, where A=2 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, and the coordinates are measured in meters. Obtain an equation for the streamline that passes through the point (x, y)=(1,3). Calculate the time required for a fluid particle to move from x=1 \mathrm{~m} to x=3 \mathrm{~m} in this flow field.

Passo 1

O enunciado nos dá uma velocidade no plano xy para um escoamento estacionário e incompressível:
\vec{V} = \hat{i}\,\frac{A}{x} + \hat{j}\,\frac{A\,y}{x^{2}},
com A=2\\ \mathrm{m^{2}/s}. As coordenadas estão em metros. O problema pede duas coisas:
  • Obter a equação da linha de corrente (streamline) que passa pelo ponto (x,y)=(1,3).
  • Calcular o tempo necessário para uma partícula do fluido se deslocar de x=1\\ \mathrm{m} até x=3\\ \mathrm{m} nesse campo de velocidades.
Informações relevantes dadas:
  • Componente u (direção x): u=\dfrac{A}{x}.
  • Componente v (direção y): v=\dfrac{A\,y}{x^{2}}.
  • Ponto inicial sobre a linha de corrente: (1,3).
  • Valor de A: A=2\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 2

Entendendo o que é uma linha de corrente (streamline) num escoamento estacionário e a equação que ela satisfaz. Para um escoamento estacionário, a linha de corrente é uma curva y(x) cuja tangente em cada ponto tem a mesma direção da velocidade local. Assim, a inclinação da linha de corrente em cada ponto é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}.
Aqui u é a componente da velocidade na direção x e v é a componente na direção y. Isso vem da ideia geométrica: a derivada dy/dx é a razão entre a variação vertical e horizontal da curva, igual à razão das componentes da velocidade.

Passo 3

Aplicando a fórmula da linha de corrente ao campo dado: substituímos u e v em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v}{u}.
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{A\,y}{x^{2}}}{\dfrac{A}{x}}.
As constantes A cancelam; simplificando a razão obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.

Passo 4

Resolver a equação diferencial \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}. Esta é uma equação separável e linear simples. Reescrevendo e separando variáveis:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x}\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{1}{x}\,dx
\ln|y|=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
y=C_1 x,
com C_1=e^{C}. Portanto as linhas de corrente são retas passando pela origem, do tipo y=C_1 x.

Passo 5

Determinar a constante C_1 usando o ponto pelo qual a linha de corrente deve passar: (x,y)=(1,3). Substituindo:
3=C_1\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C_1=3.
Logo a equação da linha de corrente procurada é
y=3x.

Passo 6

Agora calcular o tempo necessário para uma partícula se deslocar de x=1 até x=3. Para a trajetória de uma partícula (linha de corrente no caso estacionário) vale
\frac{dx}{dt}=u(x,y).
Aqui u=\dfrac{A}{x}. Assim
\frac{dx}{dt}=\frac{A}{x}\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{x}{A}\,dx.
Como queremos o tempo para ir de x=1 a x=3, integramos t=\int dt:
t=\int_{x=1}^{x=3}\frac{x}{A}\,dx=\frac{1}{A}\int_{1}^{3}x\,dx.

Passo 7

Avaliar a integral:
\int_{1}^{3}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{3}=\frac{3^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4.
Portanto
t=\frac{1}{A}\cdot 4=\frac{4}{A}.
Substituindo A=2\\ \mathrm{m^{2}/s}:
t=\frac{4}{2}=2\\ \mathrm{s}.

Resposta

y=3x
t=2\\ \mathrm{s}

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