2.9 The velocity for a steady, incompressible flow in the x y plane is given by \vec{V}=\hat{i} A / x+\hat{j} A y / x^{2}, where A=2 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, and the coordinates are measured in meters. Obtain an equation for the streamline that passes through the point (x, y)=(1,3). Calculate the time required for a fluid particle to move from x=1 \mathrm{~m} to x=3 \mathrm{~m} in this flow field.
Passo 1
O enunciado nos dá uma velocidade no plano xy para um escoamento estacionário e incompressível:
com A=2\\ \mathrm{m^{2}/s}. As coordenadas estão em metros. O problema pede duas coisas:
Obter a equação da linha de corrente (streamline) que passa pelo ponto (x,y)=(1,3).
Calcular o tempo necessário para uma partícula do fluido se deslocar de x=1\\ \mathrm{m} até x=3\\ \mathrm{m} nesse campo de velocidades.
Informações relevantes dadas:
Componente u (direção x): u=\dfrac{A}{x}.
Componente v (direção y): v=\dfrac{A\,y}{x^{2}}.
Ponto inicial sobre a linha de corrente: (1,3).
Valor de A: A=2\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Passo 2
Entendendo o que é uma linha de corrente (streamline) num escoamento estacionário e a equação que ela satisfaz. Para um escoamento estacionário, a linha de corrente é uma curva y(x) cuja tangente em cada ponto tem a mesma direção da velocidade local. Assim, a inclinação da linha de corrente em cada ponto é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}.
Aqui u é a componente da velocidade na direção x e v é a componente na direção y. Isso vem da ideia geométrica: a derivada dy/dx é a razão entre a variação vertical e horizontal da curva, igual à razão das componentes da velocidade.
Passo 3
Aplicando a fórmula da linha de corrente ao campo dado: substituímos u e v em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v}{u}.
As constantes A cancelam; simplificando a razão obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
Passo 4
Resolver a equação diferencial \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}. Esta é uma equação separável e linear simples. Reescrevendo e separando variáveis:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x}\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{1}{x}\,dx
\ln|y|=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
y=C_1 x,
com C_1=e^{C}. Portanto as linhas de corrente são retas passando pela origem, do tipo y=C_1 x.
Passo 5
Determinar a constante C_1 usando o ponto pelo qual a linha de corrente deve passar: (x,y)=(1,3). Substituindo:
3=C_1\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C_1=3.
Logo a equação da linha de corrente procurada é
y=3x.
Passo 6
Agora calcular o tempo necessário para uma partícula se deslocar de x=1 até x=3. Para a trajetória de uma partícula (linha de corrente no caso estacionário) vale