(40 pontos) Calcule a média da função
sobre o sólido
delimitado por
,
e
Passo 1
O enunciado pede a média da função
sobre o sólido
definido por
-
, -
, -
.
Para isso vamos usar a definição de média
e uma mudança de variáveis que torne
mais simples.
Passo 2
Definimos a transformação
Inversamente
Sob essa mudança a descrição de
vira
isto é, a região esférica de raio 1 no octante
, sujeita a
.
Passo 3
Calculamos o jacobiano
Logo
Passo 4
Na nova variável tem-se
Então o elemento de volume com
fica
Portanto o numerador da média é
onde
é a região esférica com
e
.
Passo 5
Perceba que, perto de
, a integral
diverge (logaritmicamente) e a seção transversal em
tem medida finita. Logo
O volume
é finito (pois a região é limitada), porém o numerador diverge, de modo que a média não existe em valor finito.
Resposta
A média de
sobre
diverge (é infinita).