(40 pontos) Calcule a média da função
f(x, y, z)=\frac{1}{y(x+z+1)}
sobre o sólido S delimitado por 0 \leq z,
0 \leq \frac{x+z+1}{\ln \left(\frac{2 y}{z(x+z+1)}\right)} \leq 1
e
(x+z+1)^{2}+\left(\ln \left(\frac{2 y}{z(x+z+1)}\right)\right)^{2}+\frac{z^{2}}{4} \leq 1 .

Passo 1

O enunciado pede a média da função
f(x,y,z)=\frac{1}{y\,(x+z+1)}
sobre o sólido S definido por
  1. z\ge0,
  2. 0\le\frac{x+z+1}{\ln\bigl(\tfrac{2y}{z(x+z+1)}\bigr)}\le1,
  3. (x+z+1)^2+\Bigl(\ln\bigl(\tfrac{2y}{z(x+z+1)}\bigr)\Bigr)^2+\tfrac{z^2}{4}\le1.
    Para isso vamos usar a definição de média
\overline{f}=\frac{\displaystyle\iiint_{S}f\,dV}{\displaystyle\iiint_{S}1\,dV}
e uma mudança de variáveis que torne S mais simples.

Passo 2

Definimos a transformação
u = x+z+1,\quad v = \ln\!\bigl(\tfrac{2y}{z\,u}\bigr),\quad w = \tfrac z2.
Inversamente
x = u - z -1,\quad y = \frac{z\,u}{2}e^v,\quad z = 2w.
Sob essa mudança a descrição de S vira
u^2 + v^2 + w^2 \le 1,\quad w\ge0,\quad 0\le\frac{u}{v}\le1,
isto é, a região esférica de raio 1 no octante w\ge0, sujeita a u/v\in[0,1].

Passo 3

Calculamos o jacobiano
J=\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,z)} =\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\ \frac{z}{2}e^v & \frac{z\,u}{2}e^v & \frac{u}{2}e^v\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\frac{z\,u}{2}\,e^v.
Logo
dx\,dy\,dz =J\,du\,dv\,dz =\frac{z\,u}{2}e^v\,du\,dv\,dz.

Passo 4

Na nova variável tem-se
f(x,y,z) =\frac{1}{y\,u} =\frac{1}{\bigl(\tfrac{z\,u}{2}e^v\bigr)\,u} =\frac{2}{z\,u^2\,e^v}.
Então o elemento de volume com f fica
f\,dV =\frac{2}{z\,u^2\,e^v}\;\frac{z\,u}{2}e^v\,du\,dv\,dz =\frac{1}{u}\,du\,dv\,dz.
Portanto o numerador da média é
\iiint_{S}f\,dV =\iiint_{D}\frac{1}{u}\,du\,dv\,dz,
onde D é a região esférica com w=z/2\ge0 e 0\le u/v\le1.

Passo 5

Perceba que, perto de u=0, a integral \int_{u\approx0}u^{-1}du diverge (logaritmicamente) e a seção transversal em (v,z) tem medida finita. Logo
\iiint_{S}f\,dV =+\infty.
O volume \iiint_S1\,dV é finito (pois a região é limitada), porém o numerador diverge, de modo que a média não existe em valor finito.

Resposta

A média de f sobre S diverge (é infinita).

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