Ache a área da superfície de revolução obtida pela rotação da parábola x=y^{2} de x=0 até x=3, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo x o ramo da parábola
x = y^2
entre x=0 e x=3. Esse é um problema de área de superfície de revolução, em que, escrevendo y como função de x, usamos a fórmula
S = 2\pi \int_{a}^{b} y \,\sqrt{1 + \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Da parábola x=y^2 tiramos a expressão do ramo superior como função de x:
y = \sqrt{x},
válida de x=0 até x=3. Calculamos a derivada:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Substituímos na fórmula de superfície:
S = 2\pi \int_{0}^{3} \sqrt{x}\,\sqrt{1 + \Bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr)^{2}}\;dx = 2\pi \int_{0}^{3} \sqrt{x}\,\sqrt{1 + \frac{1}{4x}}\;dx.

Passo 4

Simplificamos o integrando:
\sqrt{1 + \frac{1}{4x}} = \sqrt{\frac{4x+1}{4x}} = \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}},
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\sqrt{x}\,\sqrt{1 + \frac{1}{4x}} = \frac{\sqrt{4x+1}}{2}.
Assim
S = 2\pi \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{4x+1}}{2}\;dx = \pi \int_{0}^{3} \sqrt{4x+1}\;dx.

Passo 5

Fazemos a substituição u = 4x + 1, du = 4\,dx, então
\int \sqrt{4x+1}\;dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\,\frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{1}{6}\,(4x+1)^{3/2}.

Passo 6

Voltando aos limites x=0 e x=3,
\int_{0}^{3} \sqrt{4x+1}\;dx = \frac{1}{6}\Bigl[(4\cdot3+1)^{3/2} - (4\cdot0+1)^{3/2}\Bigr] = \frac{1}{6}\bigl(13^{3/2} - 1\bigr).
Portanto
S = \pi \cdot \frac{1}{6}\bigl(13^{3/2} - 1\bigr).

Resposta

S = \frac{\pi}{6}\,\bigl(13^{3/2} - 1\bigr).

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