Considere
. Seja T o sólido limitado pelos planos
e pelo plano
, com densidade
. Calcule o centro de massa do sólido
.
Passo 1
Temos
,
,
. O sólido
é limitado pelas faces
e pelo plano
O conteúdo é cálculo de centro de massa de um tetraedro de densidade uniforme, e vamos usar a propriedade de que o centróide de um tetraedro é a média aritmética das coordenadas de seus quatro vértices.
Passo 2
Substituindo
,
,
:
e
As quatro faces que formam o tetraedro são
Passo 3
Para encontrar os vértices, intersectamos cada tripla de planos:
Vértice
: interseção de
,
,
:
Passo 4
Vértice
: interseção de
,
com o plano
. Substituindo:
Logo
Passo 5
Vértice
: interseção de
,
com
. Substituindo:
Logo
Passo 6
Vértice
: interseção de
,
com
. Substituindo:
Logo
Passo 7
O centróide
do tetraedro é
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Calculando
:
Passo 10
Calculando
: