Considere \mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=9, \mathrm{c}=3. Seja T o sólido limitado pelos planos \mathrm{x}=\mathrm{c} -b, y=c-a, z=b-a e pelo plano (a-b) x+(b-c) y+(c-a) z=1, com densidade \rho(x, y, z)=1. Calcule o centro de massa do sólido T.

Passo 1

Temos a=1, b=9, c=3. O sólido T é limitado pelas faces
x = c - b,\quad y = c - a,\quad z = b - a,
e pelo plano
(a - b)x + (b - c)y + (c - a)z = 1.
O conteúdo é cálculo de centro de massa de um tetraedro de densidade uniforme, e vamos usar a propriedade de que o centróide de um tetraedro é a média aritmética das coordenadas de seus quatro vértices.

Passo 2

Substituindo a=1, b=9, c=3:
c - b = -6,\quad c - a = 2,\quad b - a = 8,
e
(a-b)x+(b-c)y+(c-a)z = -8x+6y+2z=1.
As quatro faces que formam o tetraedro são
x=-6,\quad y=2,\quad z=8,\quad -8x+6y+2z=1.

Passo 3

Para encontrar os vértices, intersectamos cada tripla de planos:
Vértice V_1: interseção de x=-6, y=2, z=8:
V_1 = (-6,\,2,\,8).

Passo 4

Vértice V_2: interseção de x=-6, y=2 com o plano -8x+6y+2z=1. Substituindo:
-8(-6)+6\cdot2+2z=1
48+12+2z=1\implies2z=-59\implies z=-\tfrac{59}{2}.
Logo
V_2 = \bigl(-6,\,2,\,-\tfrac{59}{2}\bigr).

Passo 5

Vértice V_3: interseção de x=-6, z=8 com -8x+6y+2z=1. Substituindo:
-8(-6)+6y+2\cdot8=1
48+6y+16=1\implies6y=-63\implies y=-10{.}5=-\tfrac{21}{2}.
Logo
V_3 = \bigl(-6,\,-\tfrac{21}{2},\,8\bigr).

Passo 6

Vértice V_4: interseção de y=2, z=8 com -8x+6y+2z=1. Substituindo:
-8x+6\cdot2+2\cdot8=1
-8x+12+16=1\implies-8x=-27\implies x=\tfrac{27}{8}.
Logo
V_4 = \bigl(\tfrac{27}{8},\,2,\,8\bigr).

Passo 7

O centróide (x_c,y_c,z_c) do tetraedro é
x_c=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4},\quad y_c=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4},\quad z_c=\frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}.

Passo 8

Calculando x_c:
x_c = \frac{1}{4}\Bigl(-6 + (-6) + (-6) + \tfrac{27}{8}\Bigr) = \frac{-18 + \tfrac{27}{8}}{4} = \frac{-\tfrac{144}{8}+\tfrac{27}{8}}{4} = -\frac{117}{32}.

Passo 9

Calculando y_c:
y_c = \frac{1}{4}\Bigl(2 + 2 + \bigl(-\tfrac{21}{2}\bigr) + 2\Bigr) = \frac{6 - \tfrac{21}{2}}{4} = \frac{\tfrac{12}{2}-\tfrac{21}{2}}{4} = -\frac{9}{8}.

Passo 10

Calculando z_c:
z_c = \frac{1}{4}\Bigl(8 + \bigl(-\tfrac{59}{2}\bigr) + 8 + 8\Bigr) = \frac{24 - \tfrac{59}{2}}{4} = \frac{\tfrac{48}{2}-\tfrac{59}{2}}{4} = -\frac{11}{8}.

Resposta

\bigl(x_c,y_c,z_c\bigr) =\Bigl(-\tfrac{117}{32},\,-\tfrac{9}{8},\,-\tfrac{11}{8}\Bigr).

Exercícios relacionados