O que é pedido implicitamente: encontrar u(x,t) para x\in(0,L) e t\ge0 usando o método de separação de variáveis (ou seja, escrever a solução em série de autovetores que satisfaçam as condições de contorno e ajustar coeficientes ao dado inicial).
Informações relevantes dadas:
Equação do calor homogênea \,u_t=u_{xx}\, no intervalo espacial (0,L).
Condições de Neumann homogêneas nas duas extremidades: \,u_x(0,t)=u_x(L,t)=0\,.
Condição inicial u(x,0)=\sin x para x\in(0,L).]
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): procurar soluções separáveis da forma \,u(x,t)=X(x)T(t)\,. Substituindo na PDE obtemos uma equação onde a parte que depende só de x é igual a uma parte que depende só de t; isso implica que ambas são iguais a uma constante -\lambda (autovalor). Assim obtemos dois problemas ordinários:
com as condições de contorno para X impostas por \,u_x(0,t)=u_x(L,t)=0\,, que se traduzem em
X'(0)=0,\qquad X'(L)=0.
Nos próximos passos vamos resolver o problema de valores próprios para X e obter a base de autovetores que gera a série de Fourier (no caso, série de cossenos devido às condições de Neumann).
Passo 3
Resolver o problema de autovalores para X:
X''(x)+\lambda X(x)=0,\qquad X'(0)=X'(L)=0.
Analisamos três casos para \lambda:
\lambda<0. Escreve-se \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A equação fica X''-\mu^2 X=0 com solução geral X=A\mathrm{e}^{\mu x}+B\mathrm{e}^{-\mu x}. Derivando e impondo X'(0)=0 dá A\mu-B\mu=0\Rightarrow A=B. Então X(x)=A(\mathrm{e}^{\mu x}+\mathrm{e}^{-\mu x})=2A\operatorname{cosh}(\mu x). A condição X'(L)=0 dá 2A\mu\operatorname{sinh}(\mu L)=0. Como \mu>0, a única possibilidade não-trivial seria \operatorname{sinh}(\mu L)=0, o que não acontece. Logo não há autovalores negativos.
\lambda=0. A equação é X''=0. Solução X(x)=Ax+B. Impondo X'(x)=A e as condições X'(0)=X'(L)=0 força A=0. Então X(x)=B (constante) é solução não-trivial. Assim \lambda_0=0 é autovalor, com autovetor X_0(x)=1 (ou qualquer constante).
\lambda>0. Escreve-se \lambda=\omega^2 com \omega>0. A equação é X''+\omega^2 X=0 cuja solução geral é X(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x). Derivando:
Impor X'(0)=0 dá B\omega=0\Rightarrow B=0. Então X(x)=A\cos(\omega x). A condição X'(L)=0 dá -A\omega\sin(\omega L)=0. Para solução não-trivial A\neq0 devemos ter \sin(\omega L)=0, logo
Comentário sobre possíveis casos degenerados: a expressão acima usa divisões por 1\pm k. Pode haver o caso hipotético em que 1-k=0, isto é k=1 ou \dfrac{n\pi}{L}=1, o que corresponde a L=n\pi. Nesse caso a fórmula obtida por limite continua válida: quando 1-k\to0 a contribuição \tfrac{1-\cos((1-k)L)}{1-k} deve ser entendida pelo limite e o integral original é finito (uma forma prática é retornar ao cálculo direto do integral e ver que a parcela correspondente se reduz a \tfrac{1}{2}\int_0^L \sin(0\cdot x)\,dx=0). Portanto a fórmula geral dada para a_n é válida (com interpretação por limite se necessário). Não é preciso tratar separadamente para o desenvolvimento formal da série — o integral direto é sempre bem definido.
Passo 10
Resumindo, a solução por separação de variáveis (série de cossenos com decaimento exponencial dos modos não-constantes) é
Essa série satisfaz a PDE, as condições de contorno e ajusta u(x,0)=\sin x em (0,L) pela expansão em cossenos.
Passo 11
Interpretação física e comportamento temporal: o termo constante a_0=\dfrac{1-\cos L}{L} permanece no tempo (modo de autovalor zero). Todos os outros modos decaem exponencialmente com taxas \left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^2. Para t\to\infty, u(x,t)\to a_0 uniformemente, ou seja a solução tende à média (no sentido Neumann) determinada pela integral de \sin x em [0,L].