(40 pontos) Resolva de forma detalhada, usando o Método De Fourier da Separação de Variável, o seguinte Problema de Contorno
\left\{\begin{array}{l} u_{t}=u_{x x}, \forall(x, t) \in(0, L) \times(0,+\infty) \\ u_{x}(0, t)=u_{x}(L, t)=0 \text { para } t \in(0,+\infty) \\ u(x, 0)=\sin x, \forall x \in(0, L) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte Problema de Contorno para u(x,t):
\left\{\begin{array}{l} u_{t}=u_{x x},\quad (x, t)\in(0,L)\times(0,+\infty),\\[4pt] u_{x}(0,t)=u_{x}(L,t)=0,\quad t\in(0,+\infty),\\[4pt] u(x,0)=\sin x,\quad x\in(0,L). \end{array}\right.
O que é pedido implicitamente: encontrar u(x,t) para x\in(0,L) e t\ge0 usando o método de separação de variáveis (ou seja, escrever a solução em série de autovetores que satisfaçam as condições de contorno e ajustar coeficientes ao dado inicial).
Informações relevantes dadas:
  • Equação do calor homogênea \,u_t=u_{xx}\, no intervalo espacial (0,L).
  • Condições de Neumann homogêneas nas duas extremidades: \,u_x(0,t)=u_x(L,t)=0\,.
  • Condição inicial u(x,0)=\sin x para x\in(0,L).]

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): procurar soluções separáveis da forma \,u(x,t)=X(x)T(t)\,. Substituindo na PDE obtemos uma equação onde a parte que depende só de x é igual a uma parte que depende só de t; isso implica que ambas são iguais a uma constante -\lambda (autovalor). Assim obtemos dois problemas ordinários:
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
Isso gera as ODEs:
T'(t)=-\lambda T(t), \qquad X''(x)+\lambda X(x)=0,
com as condições de contorno para X impostas por \,u_x(0,t)=u_x(L,t)=0\,, que se traduzem em
X'(0)=0,\qquad X'(L)=0.
Nos próximos passos vamos resolver o problema de valores próprios para X e obter a base de autovetores que gera a série de Fourier (no caso, série de cossenos devido às condições de Neumann).

Passo 3

Resolver o problema de autovalores para X:
X''(x)+\lambda X(x)=0,\qquad X'(0)=X'(L)=0.
Analisamos três casos para \lambda:
  1. \lambda<0. Escreve-se \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A equação fica X''-\mu^2 X=0 com solução geral X=A\mathrm{e}^{\mu x}+B\mathrm{e}^{-\mu x}. Derivando e impondo X'(0)=0 A\mu-B\mu=0\Rightarrow A=B. Então X(x)=A(\mathrm{e}^{\mu x}+\mathrm{e}^{-\mu x})=2A\operatorname{cosh}(\mu x). A condição X'(L)=0 2A\mu\operatorname{sinh}(\mu L)=0. Como \mu>0, a única possibilidade não-trivial seria \operatorname{sinh}(\mu L)=0, o que não acontece. Logo não há autovalores negativos.
  2. \lambda=0. A equação é X''=0. Solução X(x)=Ax+B. Impondo X'(x)=A e as condições X'(0)=X'(L)=0 força A=0. Então X(x)=B (constante) é solução não-trivial. Assim \lambda_0=0 é autovalor, com autovetor X_0(x)=1 (ou qualquer constante).
  3. \lambda>0. Escreve-se \lambda=\omega^2 com \omega>0. A equação é X''+\omega^2 X=0 cuja solução geral é X(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x). Derivando:
X'(x)=-A\omega\sin(\omega x)+B\omega\cos(\omega x).
Impor X'(0)=0 B\omega=0\Rightarrow B=0. Então X(x)=A\cos(\omega x). A condição X'(L)=0 -A\omega\sin(\omega L)=0. Para solução não-trivial A\neq0 devemos ter \sin(\omega L)=0, logo
\omega L = n\pi,\qquad n=1,2,3,\dots
Portanto os autovalores são
\lambda_n=\omega_n^2=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad n=1,2,\dots
e os autovetores correspondentes (normalizados apenas até constante) são
X_n(x)=\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),\qquad n=0,1,2,\dots
onde X_0(x)=1 corresponde a \lambda_0=0.

Passo 4

Resolver para T(t) associado a cada \lambda_n. A equação é T'(t)=-\lambda_n T(t), cuja solução é
T_n(t)=e^{-\lambda_n t}=e^{-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}.
Para n=0 temos \lambda_0=0 e portanto T_0(t)= constante; normalmente escolhe-se T_0(t)=1.
Assim cada modo separável é
u_n(x,t)=\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,e^{-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}, \qquad n=1,2,\dots
e o modo constante u_0(x,t)=1.

Passo 5

A solução geral (série de Fourier em cossenos compatível com Neumann) é combinação linear dos modos:
u(x,t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,e^{-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),
onde os coeficientes a_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=\sin x. Ou seja:
\sin x = a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),\qquad x\in(0,L).
Agora vamos calcular a_0 e a_n usando a ortogonalidade dos cossenos em [0,L].

Passo 6

Ortogonalidade e fórmulas dos coeficientes:
  • Para o modo constante X_0(x)=1,
a_0=\frac{1}{L}\int_0^L \sin x\,dx.
  • Para n\ge1, pela ortogonalidade
a_n=\frac{2}{L}\int_0^L \sin x\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.
Agora calculamos essas integrais explicitamente.

Passo 7

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{L}\int_0^L \sin x\,dx =\frac{1}{L}\bigl[-\cos x\bigr]_0^L =\frac{1}{L}\bigl(1-\cos L\bigr).

Passo 8

Cálculo de a_n para n\ge1. Use a identidade produto-to-sum:
\sin x\cos\! (k x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((1+k)x)+\sin((1-k)x)\bigr),
onde k=\dfrac{n\pi}{L}. Então
\begin{aligned} I_n&=\int_0^L \sin x\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_0^L \sin((1+k)x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_0^L \sin((1-k)x)\,dx\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}\Bigl[\frac{-\cos((1+k)x)}{1+k}\Bigr]_0^L +\tfrac{1}{2}\Bigl[\frac{-\cos((1-k)x)}{1-k}\Bigr]_0^L. \end{aligned}
Avaliar os limites dá
\begin{aligned} I_n&=\tfrac{1}{2}\left(\frac{1-\cos((1+k)L)}{1+k}+\frac{1-\cos((1-k)L)}{1-k}\right). \end{aligned}
Logo, lembrando que a_n=\dfrac{2}{L}I_n,
a_n=\frac{1}{L}\left(\frac{1-\cos\!\big((1+k)L\big)}{1+k}+\frac{1-\cos\!\big((1-k)L\big)}{1-k}\right),
com k=\dfrac{n\pi}{L}.]

Passo 9

Comentário sobre possíveis casos degenerados: a expressão acima usa divisões por 1\pm k. Pode haver o caso hipotético em que 1-k=0, isto é k=1 ou \dfrac{n\pi}{L}=1, o que corresponde a L=n\pi. Nesse caso a fórmula obtida por limite continua válida: quando 1-k\to0 a contribuição \tfrac{1-\cos((1-k)L)}{1-k} deve ser entendida pelo limite e o integral original é finito (uma forma prática é retornar ao cálculo direto do integral e ver que a parcela correspondente se reduz a \tfrac{1}{2}\int_0^L \sin(0\cdot x)\,dx=0). Portanto a fórmula geral dada para a_n é válida (com interpretação por limite se necessário). Não é preciso tratar separadamente para o desenvolvimento formal da série — o integral direto é sempre bem definido.

Passo 10

Resumindo, a solução por separação de variáveis (série de cossenos com decaimento exponencial dos modos não-constantes) é
u(x,t)=\frac{1-\cos L}{L}+\sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{L}\left(\frac{1-\cos\!\big((1+\tfrac{n\pi}{L})L\big)}{1+\tfrac{n\pi}{L}}+\frac{1-\cos\!\big((1-\tfrac{n\pi}{L})L\big)}{1-\tfrac{n\pi}{L}}\right)\right] e^{-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Uma versão um pouco mais limpa é, lembrando k_n=\dfrac{n\pi}{L},
u(x,t)=\frac{1-\cos L}{L}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{L}\!\left(\frac{1-\cos\!\big((1+k_n)L\big)}{1+k_n}+\frac{1-\cos\!\big((1-k_n)L\big)}{1-k_n}\right)\! e^{-k_n^2 t}\cos(k_n x).
Essa série satisfaz a PDE, as condições de contorno e ajusta u(x,0)=\sin x em (0,L) pela expansão em cossenos.

Passo 11

Interpretação física e comportamento temporal: o termo constante a_0=\dfrac{1-\cos L}{L} permanece no tempo (modo de autovalor zero). Todos os outros modos decaem exponencialmente com taxas \left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^2. Para t\to\infty, u(x,t)\to a_0 uniformemente, ou seja a solução tende à média (no sentido Neumann) determinada pela integral de \sin x em [0,L].

Resposta

u(x,t)=\frac{1-\cos L}{L}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{L}\left(\frac{1-\cos\!\big((1+\tfrac{n\pi}{L})L\big)}{1+\tfrac{n\pi}{L}}+\frac{1-\cos\!\big((1-\tfrac{n\pi}{L})L\big)}{1-\tfrac{n\pi}{L}}\right)\right] e^{-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)

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