Questão 21. Dado
fixado, mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se mostrar que, para um
fixado,
- Vou trabalhar com a representação usual do núcleo de calor periódico (função theta / semigrupo do calor na circunferência), que normalmente aparece nessa questão. Defino
para
e
. (Se a sua definição de
for equivalente a essa até constantes/normalizações, o argumento a seguir também se aplica com pequenos ajustes.)
- Observações claras que uso depois:
- A série define uma função
-periódica em . - Assim, para estimar
basta olhar no intervalo fundamental , mais precisamente em , pois a periodicidade replica os valores.
- A série define uma função
Passo 2
Reescrever
numa forma baseada em Gaussianas (fórmula de Poisson / identidade de Jacobi): ideia e cálculo.
- Considere a função
. A fórmula de soma de Poisson diz
onde
é a transformada de Fourier de
.
- Calculo
. Temos
Esse é um integral Gaussiano com fase linear; completando o quadrado ou usando a fórmula clássica, obtém-se
- Aplicando a soma de Poisson com
obtemos a identidade (identidade de Jacobi):
Essa representação mostra
como soma de picos gaussianos centrados nos
.
Passo 3
Redução do problema usando periodicidade e escolha do domínio onde estimar.
- Como
é -periódica, para estimar basta estimar
- Portanto a partir de agora tomo
com e uso a representação por Gaussianas do passo anterior.
Passo 4
Estimativa termo a termo da soma Gaussiana.
- Pela identidade do passo 2,
- Separe o termo
e os demais . Para e qualquer com ,
- Para
estimamos uma cota uniforme: se então
e o mesmo raciocínio vale para
. Assim, para todo
,
- Logo, para
com ,
Passo 5
Controle da soma das colas (garantir que todo o lado direito vai a zero quando
).
- Note primeiro o comportamento básico: para qualquer constante
,
Isto é padrão porque, ao fazer
, tem-se
quando
(a exponencial domina qualquer potência polinomial).
- Portanto o primeiro termo
tende a quando . - Para a soma sobre
use uma série geométrica para dominá-la: para tem-se , logo
Assim
- Portanto a soma sobre
(que tem dois lados, e ) satisfaz
- Multiplicando pelo fator
, obtemos que a contribuição total dos é dominada por uma expressão da forma
Como antes,
quando
, e portanto
(note que o denominador
quando
, não causa problemas).
- Combinando as duas partes obtemos, para todo
com ,
e a soma do lado direito tende a
quando
.
Passo 6
Conclusão final (uniformidade e passagem ao máximo).
- A desigualdade do passo anterior é válida uniformemente para todo
com . Logo
e o lado direito
quando
. Portanto
Resposta
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