Questão 21. Dado \delta>0 fixado, mostre que
\max _{\delta \leq|x|<\infty} S(x, t) \rightarrow 0 \text { quando } t \rightarrow 0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se mostrar que, para um \delta>0 fixado,
\max_{\delta\le|x|<\infty} S(x,t)\longrightarrow 0\quad\text{quando }t\to0.
  • Vou trabalhar com a representação usual do núcleo de calor periódico (função theta / semigrupo do calor na circunferência), que normalmente aparece nessa questão. Defino
S(x,t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-n^{2}t}e^{inx},
para x\in\mathbb{R} e t>0. (Se a sua definição de S for equivalente a essa até constantes/normalizações, o argumento a seguir também se aplica com pequenos ajustes.)
  • Observações claras que uso depois:
    • A série define uma função 2\pi-periódica em x.
    • Assim, para estimar \max_{\delta\le|x|<\infty} S(x,t) basta olhar x no intervalo fundamental -\pi\le x\le\pi, mais precisamente em \{x:\delta\le|x|\le\pi\}, pois a periodicidade replica os valores.

Passo 2

Reescrever S(x,t) numa forma baseada em Gaussianas (fórmula de Poisson / identidade de Jacobi): ideia e cálculo.
  • Considere a função f(y)=e^{-t y^{2}}e^{ixy}. A fórmula de soma de Poisson diz
\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(n)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} \widehat{f}(2\pi k),
onde \widehat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-i\xi y}\,dy é a transformada de Fourier de f.
  • Calculo \widehat{f}(\xi). Temos
\widehat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t y^{2}} e^{i y(x-\xi)}\,dy.
Esse é um integral Gaussiano com fase linear; completando o quadrado ou usando a fórmula clássica, obtém-se
\widehat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{t}}\; e^{-\dfrac{(x-\xi)^{2}}{4t}}.
  • Aplicando a soma de Poisson com \xi=2\pi k obtemos a identidade (identidade de Jacobi):
\boxed{\;S(x,t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-n^{2}t}e^{inx} =\sqrt{\frac{\pi}{t}}\sum_{k\in\mathbb{Z}} e^{-\dfrac{(x-2\pi k)^{2}}{4t}}\; }.
Essa representação mostra S como soma de picos gaussianos centrados nos 2\pi k.

Passo 3

Redução do problema usando periodicidade e escolha do domínio onde estimar.
  • Como S é 2\pi-periódica, para estimar \max_{\delta\le|x|<\infty} S(x,t) basta estimar
\sup_{\delta\le |x|\le\pi} S(x,t).
  • Portanto a partir de agora tomo x com \delta\le|x|\le\pi e uso a representação por Gaussianas do passo anterior.

Passo 4

Estimativa termo a termo da soma Gaussiana.
  • Pela identidade do passo 2,
S(x,t)=\sqrt{\frac{\pi}{t}}\sum_{k\in\mathbb{Z}} e^{-\dfrac{(x-2\pi k)^{2}}{4t}}.
  • Separe o termo k=0 e os demais k\ne0. Para k=0 e qualquer x com \delta\le|x|\le\pi,
\sqrt{\frac{\pi}{t}} e^{-\dfrac{x^{2}}{4t}}\le \sqrt{\frac{\pi}{t}} e^{-\dfrac{\delta^{2}}{4t}}.
  • Para k\ne0 estimamos uma cota uniforme: se k\ge1 então
|x-2\pi k|\ge 2\pi k-|x|\ge 2\pi k-\pi=\pi(2k-1),
e o mesmo raciocínio vale para k\le-1. Assim, para todo k\ne0,
e^{-\dfrac{(x-2\pi k)^{2}}{4t}}\le e^{-\dfrac{\pi^{2}(2k-1)^{2}}{4t}}.
  • Logo, para x com \delta\le|x|\le\pi,
S(x,t)\le \sqrt{\frac{\pi}{t}}\; e^{-\dfrac{\delta^{2}}{4t}} + \sqrt{\frac{\pi}{t}}\sum_{k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}} e^{-\dfrac{\pi^{2}(2k-1)^{2}}{4t}}.

Passo 5

Controle da soma das colas (garantir que todo o lado direito vai a zero quando t\to0).
  • Note primeiro o comportamento básico: para qualquer constante a>0,
\lim_{t\to0} t^{-1/2} e^{-a/t}=0.
Isto é padrão porque, ao fazer s=1/t, tem-se t^{-1/2} e^{-a/t}=\sqrt{s}\,e^{-a s}\to0 quando s\to\infty (a exponencial domina qualquer potência polinomial).
  • Portanto o primeiro termo \sqrt{\dfrac{\pi}{t}}e^{-\delta^{2}/(4t)} tende a 0 quando t\to0.
  • Para a soma sobre k\ne0 use uma série geométrica para dominá-la: para k\ge1 tem-se (2k-1)^{2}\ge k, logo
e^{-\dfrac{\pi^{2}(2k-1)^{2}}{4t}}\le e^{-\dfrac{\pi^{2}k}{4t}}.
Assim
\sum_{k=1}^{\infty} e^{-\dfrac{\pi^{2}(2k-1)^{2}}{4t}} \le \sum_{k=1}^{\infty} e^{-\dfrac{\pi^{2}k}{4t}} =\frac{e^{-\pi^{2}/(4t)}}{1-e^{-\pi^{2}/(4t)}}.
  • Portanto a soma sobre k\ne0 (que tem dois lados, k\ge1 e k\le-1) satisfaz
\sum_{k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}} e^{-\dfrac{\pi^{2}(2k-1)^{2}}{4t}} \le 2\,\frac{e^{-\pi^{2}/(4t)}}{1-e^{-\pi^{2}/(4t)}}.
  • Multiplicando pelo fator \sqrt{\pi/t}, obtemos que a contribuição total dos k\ne0 é dominada por uma expressão da forma
C(t):= \sqrt{\frac{\pi}{t}}\cdot 2\,\frac{e^{-\pi^{2}/(4t)}}{1-e^{-\pi^{2}/(4t)}}.
Como antes, t^{-1/2}e^{-\pi^{2}/(4t)}\to0 quando t\to0, e portanto C(t)\to0 (note que o denominador 1-e^{-\pi^{2}/(4t)}\to1 quando t\to0, não causa problemas).
  • Combinando as duas partes obtemos, para todo x com \delta\le|x|\le\pi,
0\le S(x,t)\le \sqrt{\frac{\pi}{t}}\,e^{-\dfrac{\delta^{2}}{4t}} + C(t),
e a soma do lado direito tende a 0 quando t\to0.

Passo 6

Conclusão final (uniformidade e passagem ao máximo).
  • A desigualdade do passo anterior é válida uniformemente para todo x com \delta\le|x|\le\pi. Logo
\sup_{\delta\le|x|\le\pi} S(x,t)\le \sqrt{\frac{\pi}{t}}\,e^{-\dfrac{\delta^{2}}{4t}} + C(t),
e o lado direito \to0 quando t\to0. Portanto
\max_{\delta\le|x|<\infty} S(x,t)=\sup_{\delta\le|x|\le\pi} S(x,t)\longrightarrow 0\quad\text{quando }t\to0.

Resposta

0

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