Os termos com -b e^{-bt}v e +b e^{-bt}v cancelam, restando
e^{-b t}\big(v_t - k v_{xx}\big)=0.
Como e^{-bt}>0, isso implica a equação mais simples para v:
v_t - k v_{xx} = 0,\qquad x\in\mathbb{R},\\ t>0.
A condição inicial é obtida no tempo t=0:
u(x,0)=e^{-b\cdot 0}v(x,0)=v(x,0)=\varphi(x).
Portanto v satisfaz o problema do calor com condição inicial \varphi.
Passo 3
Resumo: reduzir o problema original para o problema de calor clássico
\begin{cases} v_t - k v_{xx} = 0,\\[4pt] v(x,0)=\varphi(x). \end{cases}
Agora vamos resolver esse problema para v. Método escolhido: transformar de Fourier em x. Motivo: transforma a PDE em uma ODE em t simples e conduz diretamente ao núcleo gaussiano (heat kernel). É um método padrão e prático para problemas no espaço inteiro \mathbb{R}.]
Passo 4
Defina a transformada de Fourier espacial (convenção usada):
\int_{\mathbb{R}} e^{-k t\,\xi^{2} + i z \xi}\,d\xi = \sqrt{\frac{\pi}{k t}}\; e^{-\frac{z^{2}}{4k t}}.
Então
G(z,t)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{k t}}\; e^{-\frac{z^{2}}{4k t}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\; e^{-\frac{z^{2}}{4k t}}.
Esse é o famoso heat kernel (núcleo gaussiano). Portanto
v(x,t)=\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\, e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4k t}}\;\varphi(y)\,dy.
Passo 7
Retorne à variável original u. Lembrando u(x,t)=e^{-b t}v(x,t), obtemos a solução do problema original:
u(x,t)=e^{-b t}\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\, e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4k t}}\;\varphi(y)\,dy.
Aqui presumiu‑se que \varphi é uma função suficientemente razoável (por exemplo \varphi\in L^{1}(\mathbb{R}) ou \varphi limitada e contínua) para que a convolução com o núcleo gaussiano faça sentido e retorne uma solução clássica.
Passo 8
Verificações rápidas e interpretação:
Substituindo u=e^{-bt}v com v dado acima na equação original, a verificação feita no Passo 2 mostra que a equação é satisfeita porque v satisfaz o calor.
A condição inicial também é satisfeita: quando t\to 0^+, o núcleo gaussiano age como uma aproximação da identidade e \displaystyle\int G(x-y,t)\varphi(y)\,dy\to\varphi(x) (por convergência dominada ou propriedades da aproximação da identidade), logo u(x,0)=\varphi(x).
Intuitivamente: o fator e^{-bt} representa um decaimento/extermínio exponencial devido ao termo +b u, e a convolução com o kernel gaussiano representa a difusão espacial.
Resposta
u(x,t)=e^{-b t}\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\,e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4k t}}\;\varphi(y)\,dy.