Questão 22. Seja b>0 uma constante. Resolva o problema da difusão:
\left\{\begin{array}{l} u_{t}-k u_{x x}+b u=0 \quad x \in \mathbb{R} \quad \text { e } t>0 \\\ u(x, 0)=\varphi(x) \end{array}\right.
Dica: considere a mudança de variável u(x, t)=e^{-b t} v(x, t).

Passo 1

O enunciado dá o problema de difusão com termo de reação linear:
\begin{cases} u_{t}-k u_{x x}+b u=0, & x\in\mathbb{R},\\ t>0,\\[4pt] u(x,0)=\varphi(x), \end{cases}
onde b>0 é constante. Informações relevantes fornecidas:
  • A função desconhecida é u(x,t).
  • A constante b>0 está presente como termo multiplicativo de u.
  • O parâmetro k aparece na equação (pressupõe‑se k>0 como coeficiente de difusão).
  • A condição inicial é u(x,0)=\varphi(x) (função conhecida \varphi).
    O problema pede: encontrar explicitamente u(x,t) para t>0 e x\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Aplicar a dica: faça a mudança de variável
u(x,t)=e^{-b t}v(x,t).
Agora calcule as derivadas temporais e espaciais necessárias para substituir na equação original. Primeiro:
u_t = \frac{\partial}{\partial t}\big(e^{-b t}v\big) = -b e^{-b t} v + e^{-b t} v_t,
e
u_{xx} = \frac{\partial^2}{\partial x^2}\big(e^{-b t}v\big) = e^{-b t} v_{xx},
pois e^{-bt} depende só de t. Substituindo em \,u_t - k u_{xx} + b u = 0, obtemos:
\big(-b e^{-b t} v + e^{-b t} v_t\big) - k\big(e^{-b t} v_{xx}\big) + b\big(e^{-b t} v\big)=0.
Os termos com -b e^{-bt}v e +b e^{-bt}v cancelam, restando
e^{-b t}\big(v_t - k v_{xx}\big)=0.
Como e^{-bt}>0, isso implica a equação mais simples para v:
v_t - k v_{xx} = 0,\qquad x\in\mathbb{R},\\ t>0.
A condição inicial é obtida no tempo t=0:
u(x,0)=e^{-b\cdot 0}v(x,0)=v(x,0)=\varphi(x).
Portanto v satisfaz o problema do calor com condição inicial \varphi.

Passo 3

Resumo: reduzir o problema original para o problema de calor clássico
\begin{cases} v_t - k v_{xx} = 0,\\[4pt] v(x,0)=\varphi(x). \end{cases}
Agora vamos resolver esse problema para v. Método escolhido: transformar de Fourier em x. Motivo: transforma a PDE em uma ODE em t simples e conduz diretamente ao núcleo gaussiano (heat kernel). É um método padrão e prático para problemas no espaço inteiro \mathbb{R}.]

Passo 4

Defina a transformada de Fourier espacial (convenção usada):
\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}} e^{-i\xi x} f(x)\,dx,
e a transformada inversa
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} e^{i\xi x}\widehat{f}(\xi)\,d\xi.
Aplique a transformada em x à equação v_t - k v_{xx}=0. Como a transformada passa pela derivada em x como multiplicação por (i\xi), tem‑se
\frac{\partial}{\partial t}\widehat{v}(\xi,t) + k \xi^{2}\widehat{v}(\xi,t)=0.
Isto é uma ODE ordinária em t para cada \xi:
\partial_t \widehat{v}(\xi,t) = -k\xi^{2}\widehat{v}(\xi,t).
Solução da ODE com condição inicial \widehat{v}(\xi,0)=\widehat{\varphi}(\xi):
\widehat{v}(\xi,t) = e^{-k\xi^{2} t}\,\widehat{\varphi}(\xi).

Passo 5

Volte ao espaço físico aplicando a transformada inversa:
v(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} e^{i\xi x} \widehat{v}(\xi,t)\,d\xi = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} e^{i\xi x} e^{-k\xi^{2} t}\widehat{\varphi}(\xi)\,d\xi.
Usando a propriedade convolucional da transformada de Fourier, isto é equivalente a
v(x,t) = \int_{\mathbb{R}} G(x-y,t)\,\varphi(y)\,dy,
onde o núcleo G é a transformada inversa de e^{-k\xi^{2} t}:
G(z,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} e^{i\xi z} e^{-k\xi^{2} t}\,d\xi.

Passo 6

Calcule explicitamente G(z,t) usando a integral gaussiana complexa. Use a fórmula básica
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\xi^{2}+b\xi}\,d\xi = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\; e^{\frac{b^{2}}{4a}},\qquad a>0,
aplicando com a=k t e b=i z. Assim
\int_{\mathbb{R}} e^{-k t\,\xi^{2} + i z \xi}\,d\xi = \sqrt{\frac{\pi}{k t}}\; e^{-\frac{z^{2}}{4k t}}.
Então
G(z,t)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{k t}}\; e^{-\frac{z^{2}}{4k t}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\; e^{-\frac{z^{2}}{4k t}}.
Esse é o famoso heat kernel (núcleo gaussiano). Portanto
v(x,t)=\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\, e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4k t}}\;\varphi(y)\,dy.

Passo 7

Retorne à variável original u. Lembrando u(x,t)=e^{-b t}v(x,t), obtemos a solução do problema original:
u(x,t)=e^{-b t}\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\, e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4k t}}\;\varphi(y)\,dy.
Aqui presumiu‑se que \varphi é uma função suficientemente razoável (por exemplo \varphi\in L^{1}(\mathbb{R}) ou \varphi limitada e contínua) para que a convolução com o núcleo gaussiano faça sentido e retorne uma solução clássica.

Passo 8

Verificações rápidas e interpretação:
  • Substituindo u=e^{-bt}v com v dado acima na equação original, a verificação feita no Passo 2 mostra que a equação é satisfeita porque v satisfaz o calor.
  • A condição inicial também é satisfeita: quando t\to 0^+, o núcleo gaussiano age como uma aproximação da identidade e \displaystyle\int G(x-y,t)\varphi(y)\,dy\to\varphi(x) (por convergência dominada ou propriedades da aproximação da identidade), logo u(x,0)=\varphi(x).
  • Intuitivamente: o fator e^{-bt} representa um decaimento/extermínio exponencial devido ao termo +b u, e a convolução com o kernel gaussiano representa a difusão espacial.

Resposta

u(x,t)=e^{-b t}\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\,e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4k t}}\;\varphi(y)\,dy.

Exercícios relacionados