(40) Suponha que (1,1) e (-1,1) formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Exprima cada um dos vetores (1,0) e (0,1) como combinação linear dessa base.
(41) Ache uma solução não-trivial para o sistema homogêneo: \left\{\begin{array}{c}x+2 y+3 z+4 t=0 \\\\ 2 x+y+z-t=0 \\\\ 3 x-2 y+z-2 t=0\end{array}\right. e, a partir daí, obtenha uma combinação linear nula dos vetores
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Problema (40):
Dado: os vetores (1,1)\) e \((-1,1)\) formam uma base de \(\mathbb{R}^2\).
- Pede: expressar cada um dos vetores \((1,0)\) e \((0,1)\) como combinação linear dessa base. Ou seja, encontrar escalares \(a,b\) tais que
\[a(1,1)+b(-1,1)=(1,0)
Pede: encontrar uma solução não-trivial (isto é, diferente de ((0,0,0,0)]) e, a partir dessa solução, obter uma combinação linear nula dos vetores coluna do sistema (isto é, uma relação linear não-trivial entre as colunas da matriz de coeficientes).]
Passo 2
Entendendo e montando as equações para o problema (40). Para representar (1,0)\) na base dada queremos achar \(a,b\) tais que
\[a(1,1)+b(-1,1)=(1,0).
Isto gera um sistema de duas equações (comparando coordenadas). Vou escrever essas equações explicitamente:
Explicando: a primeira linha é a coordenada x\] (primeira componente) e a segunda linha é a coordenada \(y (segunda componente). Como a base tem dois vetores e o espaço é \mathbb{R}^2, esse sistema tem solução única (porque é uma base, ou seja, vetores linearmente independentes).]
Passo 3
Resolver o sistema do Passo 2 (para (1,0)\)). Escrevendo de forma organizada:
\[\begin{cases} a - b = 1,\\[4pt] a + b = 0. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar b\]:
\[(a-b)+(a+b)=1+0 \quad\Rightarrow\quad 2a = 1 \quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{2}.\]
Substituindo \(a=\tfrac{1}{2} em a+b=0:
Substituindo em c-d=0\]:
\[\tfrac{1}{2}-d=0\quad\Rightarrow\quad d=\tfrac{1}{2}.\]
Logo
\[(0,1)=\tfrac{1}{2}(1,1)+\tfrac{1}{2}(-1,1).\]
As coordenadas de \((0,1) nessa base são \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\big).]
Passo 5
Agora vou resolver o problema (41). Primeiro escrevo a matriz aumentada do sistema homogêneo (coluna de zeros à direita), ou apenas a matriz de coeficientes — a solução do homogêneo depende só da coeficientes:
Explicando a estratégia: usar eliminação de Gauss (operações elementares nas linhas) para reduzir a matriz e escrever as incógnitas em função de variáveis livres. Como há 3 equações e 4 incógnitas, esperamos pelo menos uma variável livre e, portanto, soluções não-triviais.]
Passo 6
Executando eliminação de Gauss passo a passo (vou manter os cálculos claros).
Se (x,y,z,t) é uma solução do sistema homogêneo, então por definição
x v_1 + y v_2 + z v_3 + t v_4 = \mathbf{0}.
Usando a solução encontrada (11,1,-15,8) obtemos a combinação linear nula não-trivial:
11\,v_1 + 1\,v_2 -15\,v_3 + 8\,v_4 = \mathbf{0}.
Isto mostra que as colunas v_1,v_2,v_3,v_4 são linearmente dependentes (era de se esperar, pois há mais vetores do que a dimensão do espaço das equações).]
Resposta
(40a) (1,0)=\tfrac{1}{2}(1,1)-\tfrac{1}{2}(-1,1)
(40b) (0,1)=\tfrac{1}{2}(1,1)+\tfrac{1}{2}(-1,1)
(41a) Uma solução não-trivial é (x,y,z,t)=(11,1,-15,8)