(59) A matriz de mudança de uma base \mathcal{B}_{1} do \mathbb{R}^{2} para a base \mathcal{B}=\{(1,1),(0,2)\} desse mesmo espaço é \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]. Determine a base \mathcal{B}_{1}.
(60) A matriz de mudança da base \mathcal{C}_{1}=\left\{1+t, 1-t^{2}\right\} para base \mathcal{C}, ambas do mesmo subespaço de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), é \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]. Determine a base \mathcal{C}.
(61) Fixado \theta \in \mathbb{R}, considere os vetores u_{1}=(\cos \theta, \operatorname{sen} \theta) e u_{2}=(-\operatorname{sen} \theta, \cos \theta) em \mathbb{R}^{2}.
(a) Mostre que u_{1} e u_{2} formam uma base, \mathcal{B}, de \mathbb{R}^{2} e encontre a matriz de mudança desta base para a base canônica do \mathbb{R}^{2}.
(b) Determine as coordenadas do vetor u=(x, y) com relação à base \mathcal{B}.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e os dados fornecidos.
(59) Foi dada a base \mathcal{B}=\{(1,1),(0,2)\} do \mathbb{R}^{2} e a matriz de mudança da base \mathcal{B}_{1} para \mathcal{B}, que é
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
O que se pede: determinar a base \mathcal{B}_{1}.
(60) Foi dada a base \mathcal{C}_{1}=\{1+t,\;1-t^{2}\} de um subespaço de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e a matriz de mudança da base \mathcal{C}_{1} para outra base \mathcal{C}, que é
\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
O que se pede: determinar a base \mathcal{C}.
(61) Foram dados os vetores u_{1}=(\cos\theta,\sin\theta) e u_{2}=(-\sin\theta,\cos\theta) em \mathbb{R}^{2}, com \theta\in\mathbb{R}.
(a) Pede-se mostrar que u_{1},u_{2} formam uma base \mathcal{B} de \mathbb{R}^{2} e encontrar a matriz de mudança dessa base para a base canônica.
(b) Pede-se encontrar as coordenadas do vetor u=(x,y) em relação à base \mathcal{B}.]
Passo 2
Entendimento da convenção usada para matriz de mudança (explicação didática curta e essencial).
Quando dizemos que uma matriz P é "matriz de mudança da base \mathcal{B}_{1} para a base \mathcal{B}", significa que, dados os vetores da base \mathcal{B}_{1}=\{v_{1},v_{2}\}, as colunas de P são as coordenadas de v_{1} e v_{2} expressas na base \mathcal{B}. Em fórmulas:
Isto quer dizer que se [w]_{\mathcal{B}_{1}} são as coordenadas de w na base \mathcal{B}_{1}, então [w]_{\mathcal{B}}=P\,[w]_{\mathcal{B}_{1}}.
Vou usar essa convenção para resolver (59) e (60).
Passo 3
Resolução de (59) passo a passo.
A matriz de mudança dada é
P=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Pelo item anterior, a primeira coluna \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} é [v_{1}]_{\mathcal{B}} e a segunda coluna \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix} é [v_{2}]_{\mathcal{B}}, onde \mathcal{B}_{1}=\{v_{1},v_{2}\}.
Escrever cada coluna como combinação linear dos vetores da base \mathcal{B}=\{b_{1},b_{2}\} com b_{1}=(1,1) e b_{2}=(0,2).
Para v_{1}: as coordenadas são \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}, então
v_{1}=1\cdot b_{1}+2\cdot b_{2}.
Calculemos:
1\cdot(1,1)+2\cdot(0,2)=(1,1)+(0,4)=(1,5).
Portanto v_{1}=(1,5).
Para v_{2}: as coordenadas são \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}, então
Pelo mesmo raciocínio, as colunas de Q são as coordenadas dos vetores de \mathcal{C}_{1} em relação à base \mathcal{C}=\{p,q\} que queremos achar. Ou seja:
Para verificar que u_{1},u_{2} formam base, basta ver que são linearmente independentes, o que é equivalente a \det(R)\neq 0. Calculemos o determinante:
(61)(b) \displaystyle [u]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, isto é a=x\cos\theta+y\sin\theta,\;b=-x\sin\theta+y\cos\theta]