(59) A matriz de mudança de uma base \mathcal{B}_{1} do \mathbb{R}^{2} para a base \mathcal{B}=\{(1,1),(0,2)\} desse mesmo espaço é \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]. Determine a base \mathcal{B}_{1}.
(60) A matriz de mudança da base \mathcal{C}_{1}=\left\{1+t, 1-t^{2}\right\} para base \mathcal{C}, ambas do mesmo subespaço de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), é \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]. Determine a base \mathcal{C}.
(61) Fixado \theta \in \mathbb{R}, considere os vetores u_{1}=(\cos \theta, \operatorname{sen} \theta) e u_{2}=(-\operatorname{sen} \theta, \cos \theta) em \mathbb{R}^{2}.
(a) Mostre que u_{1} e u_{2} formam uma base, \mathcal{B}, de \mathbb{R}^{2} e encontre a matriz de mudança desta base para a base canônica do \mathbb{R}^{2}.
(b) Determine as coordenadas do vetor u=(x, y) com relação à base \mathcal{B}.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e os dados fornecidos.
  • (59) Foi dada a base \mathcal{B}=\{(1,1),(0,2)\} do \mathbb{R}^{2} e a matriz de mudança da base \mathcal{B}_{1} para \mathcal{B}, que é
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
O que se pede: determinar a base \mathcal{B}_{1}.
  • (60) Foi dada a base \mathcal{C}_{1}=\{1+t,\;1-t^{2}\} de um subespaço de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e a matriz de mudança da base \mathcal{C}_{1} para outra base \mathcal{C}, que é
\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
O que se pede: determinar a base \mathcal{C}.
  • (61) Foram dados os vetores u_{1}=(\cos\theta,\sin\theta) e u_{2}=(-\sin\theta,\cos\theta) em \mathbb{R}^{2}, com \theta\in\mathbb{R}.
    • (a) Pede-se mostrar que u_{1},u_{2} formam uma base \mathcal{B} de \mathbb{R}^{2} e encontrar a matriz de mudança dessa base para a base canônica.
    • (b) Pede-se encontrar as coordenadas do vetor u=(x,y) em relação à base \mathcal{B}.]

Passo 2

Entendimento da convenção usada para matriz de mudança (explicação didática curta e essencial).
  • Quando dizemos que uma matriz P é "matriz de mudança da base \mathcal{B}_{1} para a base \mathcal{B}", significa que, dados os vetores da base \mathcal{B}_{1}=\{v_{1},v_{2}\}, as colunas de P são as coordenadas de v_{1} e v_{2} expressas na base \mathcal{B}. Em fórmulas:
P=\big([v_{1}]_{\mathcal{B}}\;\;[v_{2}]_{\mathcal{B}}\big).
Isto quer dizer que se [w]_{\mathcal{B}_{1}} são as coordenadas de w na base \mathcal{B}_{1}, então [w]_{\mathcal{B}}=P\,[w]_{\mathcal{B}_{1}}.
Vou usar essa convenção para resolver (59) e (60).

Passo 3

Resolução de (59) passo a passo.
  • A matriz de mudança dada é
P=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Pelo item anterior, a primeira coluna \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} é [v_{1}]_{\mathcal{B}} e a segunda coluna \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix} é [v_{2}]_{\mathcal{B}}, onde \mathcal{B}_{1}=\{v_{1},v_{2}\}.
  • Escrever cada coluna como combinação linear dos vetores da base \mathcal{B}=\{b_{1},b_{2}\} com b_{1}=(1,1) e b_{2}=(0,2).
    • Para v_{1}: as coordenadas são \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}, então
    v_{1}=1\cdot b_{1}+2\cdot b_{2}.
    Calculemos:
    1\cdot(1,1)+2\cdot(0,2)=(1,1)+(0,4)=(1,5).
    Portanto v_{1}=(1,5).
    • Para v_{2}: as coordenadas são \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}, então
    v_{2}=0\cdot b_{1}+3\cdot b_{2}=3\cdot(0,2)=(0,6).
    Portanto v_{2}=(0,6).
  • Conclusão: a base procurada é
\mathcal{B}_{1}=\{(1,5),\;(0,6)\}.]

Passo 4

Resolução de (60) passo a passo.
  • A matriz de mudança dada é
Q=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Pelo mesmo raciocínio, as colunas de Q são as coordenadas dos vetores de \mathcal{C}_{1} em relação à base \mathcal{C}=\{p,q\} que queremos achar. Ou seja:
p+q = 1+t \qquad\text{(primeira coluna }(1,1)^\top\text{)},
2p - q = 1 - t^{2} \qquad\text{(segunda coluna }(2,-1)^\top\text{)}.
Essas são igualdades de polinômios (elementos de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})).
  • Agora resolvemos o sistema linear em p e q (cada um é um polinômio desconhecido):
    • Somando as duas equações:
    (p+q)+(2p-q)=3p=(1+t)+(1-t^{2})=2+t-t^{2}.
    Logo
    p=\dfrac{2+t-t^{2}}{3}.
    • Substituindo p em p+q=1+t obtemos
    q=1+t-p = 1+t-\dfrac{2+t-t^{2}}{3}.
    Calculemos com cuidado (colocando tudo sobre o mesmo denominador):
    q=\dfrac{3(1+t)-(2+t-t^{2})}{3}=\dfrac{3+3t-2-t+t^{2}}{3}=\dfrac{1+2t+t^{2}}{3}.
  • Conclusão: a base \mathcal{C} é
\mathcal{C}=\left\{\dfrac{2+t-t^{2}}{3},\;\dfrac{1+2t+t^{2}}{3}\right\}.]

Passo 5

Resolução de (61)(a) passo a passo — mostrar que u_{1},u_{2} formam base e encontrar a matriz de mudança para a base canônica.
  • Escrevemos a matriz cujas colunas são u_{1} e u_{2} (essas colunas são as coordenadas dos vetores da base \mathcal{B} na base canônica):
R=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
  • Para verificar que u_{1},u_{2} formam base, basta ver que são linearmente independentes, o que é equivalente a \det(R)\neq 0. Calculemos o determinante:
\det(R)=\cos\theta\cdot\cos\theta - (-\sin\theta)\cdot\sin\theta=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\neq 0.
Portanto são linearmente independentes e formam uma base \mathcal{B} de \mathbb{R}^{2}.
  • A matriz de mudança da base \mathcal{B} para a base canônica é exatamente R (cada coluna é a representação canônica de u_{1} e u_{2}). Assim:
\text{Matriz de mudança (}\mathcal{B}\to\text{canônica)} = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.çô]

Passo 6

Resolução de (61)(b) passo a passo — coordenadas de u=(x,y) na base \mathcal{B}.
  • Precisamos encontrar escalares a,b tais que
u = a\,u_{1} + b\,u_{2}.
Escrevendo em componentes isso dá o sistema linear
a\cos\theta - b\sin\theta = x,
a\sin\theta + b\cos\theta = y.
Em forma matricial:
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
  • Como a matriz R é invertível e, neste caso, é uma matriz de rotação, sua inversa é a sua transposta:
R^{-1}=R^{\top}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Multiplicando ambos os lados por R^{-1} obtemos as coordenadas \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix}=R^{-1}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
  • Escrevendo explicitamente:
a = x\cos\theta + y\sin\theta, \qquad b = -x\sin\theta + y\cos\theta.]

Resposta

(59) \mathcal{B}_{1}=\{(1,5),\;(0,6)\}
(60) \mathcal{C}=\left\{\dfrac{2+t-t^{2}}{3},\;\dfrac{1+2t+t^{2}}{3}\right\}
(61)(a) \displaystyle \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}
(61)(b) \displaystyle [u]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, isto é a=x\cos\theta+y\sin\theta,\;b=-x\sin\theta+y\cos\theta]

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