onde x é dado em cm e t em segundos. A energia potencial do sistema será igual à metade da energia mecânica total no instante:
(A) 0,5 \mathrm{~s}
(B) 1,0 \mathrm{~s}
(C) 1,5 \mathrm{~s}
(D) 2,0 \mathrm{~s}
(E) \pi \mathrm{s}
Passo 1
O enunciado dá uma massa m=5{,}0\\ \mathrm{kg} que executa M.H.S. com a posição
onde x está em centímetros e t em segundos. Pergunta-se: em qual dos instantes listados a energia potencial do sistema vale metade da energia mecânica total? As alternativas são:
(A) 0,5\\ \mathrm{s}
(B) 1,0\\ \mathrm{s}
(C) 1,5\\ \mathrm{s}
(D) 2,0\\ \mathrm{s}
(E) \pi\\ \mathrm{s}
Informações relevantes fornecidas:
Amplitude aparente (coeficiente multiplicando o seno): 20 (cm).
Frequência angular aparente no argumento do seno: \omega=\dfrac{\pi}{3} (rad/s).
Fase inicial: \varphi=\dfrac{\pi}{4} (rad).
Massa m=5{,}0\\ \mathrm{kg} (não será necessária numericamente para comparar energias relativas, mas serve para mostrar relações).
O que se pede: achar o(s) instante(s) t em que U(t)=\tfrac{1}{2}E, onde U é energia potencial e E energia mecânica total.
Passo 2
Relembrando as expressões de energia em M.H.S. (massa-mola ideal) e as relações úteis — vou explicar cada coisa:
A energia potencial elástica armazenada na mola (quando o deslocamento é x) é
U(t)=\tfrac{1}{2}k\,x(t)^2,
onde k é a constante elástica da mola. Aqui x(t) é o deslocamento instantâneo (expresso em metros ou centímetros, desde que usado de forma consistente).
A energia cinética instantânea é
K(t)=\tfrac{1}{2}m\,v(t)^2,
onde v(t)=\dfrac{dx}{dt} é a velocidade.
A energia mecânica total (conservada no M.H.S. sem atrito) é constante e vale
E=\tfrac{1}{2}kA^2,
onde A é a amplitude do movimento. Explicação: no instante de máximo deslocamento x=A a velocidade é zero, então toda a energia é potencial \tfrac{1}{2}kA^2, que é igual à energia mecânica total.
Relação massa-constante-elástica-frequência: para um sistema massa-mola em M.H.S. a frequência angular satisfaz