40{ }^{\text {a }} Questão

Um bloco de massa m=5,0 \mathrm{~kg} executa M.H.S. horizontal, de acordo com a expressão
x(t)=20 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3} t-\frac{\pi}{4}\right)
onde x é dado em cm e t em segundos. A energia potencial do sistema será igual à metade da energia mecânica total no instante:
(A) 0,5 \mathrm{~s}
(B) 1,0 \mathrm{~s}
(C) 1,5 \mathrm{~s}
(D) 2,0 \mathrm{~s}
(E) \pi \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá uma massa m=5{,}0\\ \mathrm{kg} que executa M.H.S. com a posição
x(t)=20\\ \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{4}\right),
onde x está em centímetros e t em segundos. Pergunta-se: em qual dos instantes listados a energia potencial do sistema vale metade da energia mecânica total? As alternativas são:
(A) 0,5\\ \mathrm{s}
(B) 1,0\\ \mathrm{s}
(C) 1,5\\ \mathrm{s}
(D) 2,0\\ \mathrm{s}
(E) \pi\\ \mathrm{s}
Informações relevantes fornecidas:
  • Amplitude aparente (coeficiente multiplicando o seno): 20 (cm).
  • Frequência angular aparente no argumento do seno: \omega=\dfrac{\pi}{3} (rad/s).
  • Fase inicial: \varphi=\dfrac{\pi}{4} (rad).
  • Massa m=5{,}0\\ \mathrm{kg} (não será necessária numericamente para comparar energias relativas, mas serve para mostrar relações).
  • O que se pede: achar o(s) instante(s) t em que U(t)=\tfrac{1}{2}E, onde U é energia potencial e E energia mecânica total.

Passo 2

Relembrando as expressões de energia em M.H.S. (massa-mola ideal) e as relações úteis — vou explicar cada coisa:
  • A energia potencial elástica armazenada na mola (quando o deslocamento é x) é
U(t)=\tfrac{1}{2}k\,x(t)^2,
onde k é a constante elástica da mola. Aqui x(t) é o deslocamento instantâneo (expresso em metros ou centímetros, desde que usado de forma consistente).
  • A energia cinética instantânea é
K(t)=\tfrac{1}{2}m\,v(t)^2,
onde v(t)=\dfrac{dx}{dt} é a velocidade.
  • A energia mecânica total (conservada no M.H.S. sem atrito) é constante e vale
E=\tfrac{1}{2}kA^2,
onde A é a amplitude do movimento. Explicação: no instante de máximo deslocamento x=A a velocidade é zero, então toda a energia é potencial \tfrac{1}{2}kA^2, que é igual à energia mecânica total.
  • Relação massa-constante-elástica-frequência: para um sistema massa-mola em M.H.S. a frequência angular satisfaz
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad\Rightarrow\quad k=m\omega^2.
Isso permite escrever a energia total também como E=\tfrac{1}{2}m\omega^2 A^2. Cada símbolo:
  • m: massa (kg),
  • k: constante da mola (N/m),
  • \omega: frequência angular (rad/s),
  • A: amplitude (unidade de comprimento),
  • x(t): deslocamento em função do tempo.

Passo 3

Identificar amplitude, frequência angular e fase a partir da expressão dada:
x(t)=20\\ \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{4}\right).
  • Amplitude: A=20 (cm). Não preciso transformar para metros porque vou usar razão x/A — as unidades cancelam.
  • Frequência angular: \omega=\dfrac{\pi}{3} (rad/s).
  • Fase inicial: \varphi=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Montar a condição pedida U=\tfrac{1}{2}E usando as fórmulas:
U(t)=\tfrac{1}{2}k\,x(t)^2, \qquad E=\tfrac{1}{2}kA^2.
Impondo U(t)=\tfrac{1}{2}E obtemos
\tfrac{1}{2}k\,x(t)^2=\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}kA^2\right).
Simplificando (o fator k e o \tfrac{1}{2} comum cancelem):
x(t)^2=\frac{A^2}{2}.
Logo a condição é simplesmente que o deslocamento absoluto valha
|x(t)|=\frac{A}{\sqrt{2}}.
Interpretação: quando a energia potencial é metade da energia total, o bloco está a uma fração 1/\sqrt{2} da amplitude.

Passo 5

Substituir x(t)=A\sin(\omega t-\varphi) e a condição encontrada:
\bigl|A\sin(\omega t-\varphi)\bigr|=\frac{A}{\sqrt{2}}.
Dividindo por A (não nulo):
|\sin(\omega t-\varphi)|=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Isso significa que o argumento \theta=\omega t-\varphi satisfaz
\sin\theta=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Resolver a equação trigonométrica \sin\theta=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Os ângulos que dão \pm 1/\sqrt{2} são
\theta=\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2},\qquad n\in\mathbb{Z},
porque \sin(\pi/4)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \sin(3\pi/4)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \sin(5\pi/4)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} etc. Portanto:
\omega t-\varphi=\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Substituir \varphi=\dfrac{\pi}{4} e \omega=\dfrac{\pi}{3} para achar t:
\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2}.
Somando \dfrac{\pi}{4} em ambos os lados:
\frac{\pi}{3}t=\frac{\pi}{2}+n\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}(1+n).
Isolando t:
t=\frac{\frac{\pi}{2}(1+n)}{\frac{\pi}{3}}=\frac{1+n}{2}\cdot 3=\tfrac{3}{2}(1+n).
Portanto os instantes que satisfazem a condição são
t=\tfrac{3}{2}(1+n)\\ \mathrm{s},\qquad n\in\mathbb{Z}.

Passo 8

Listar alguns valores positivos de t a partir da fórmula:
  • Para n=-1: t=0 (situação válida, energia potencial metade da total no instante zero).
  • Para n=0: t=\tfrac{3}{2}=1{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Para n=1: t=3{,}0\\ \mathrm{s}.
  • e assim por diante (período entre soluções sucessivas é \tfrac{3}{2}\\ \mathrm{s}).
Comparar com as alternativas: a única alternativa que coincide com algum desses instantes é 1{,}5\\ \mathrm{s}, que é a alternativa (C).

Resposta

(C) 1,5\\ \mathrm{s}

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