34{ }^{\text {a }} Questão

Considere uma partícula de carga positiva em uma região em que atuam um campo elétrico \vec{E}=\left(0, E_{0}, 0\right) e campo magnético \vec{B}=\left(0, B_{0}, 0\right). No tempo t=0, a carga tem velocidade \vec{v} no plano x y, fazendo um ângulo de \theta com o eixo x. Considerando as afirmativas sobre o ângulo \theta, qual(is) dela(s) é(são) correta(s)?
Afirmação 1. Se \theta=0^{\circ}, a carga se move circularmente no plano x z.
Afirmação 2. Se \theta=0^{\circ}, a carga faz um movimento helicoidal com passo constante ao longo do eixo y.
Afirmação 3. Se \theta=10^{\circ}, a carga faz um movimento helicoidal com passo aumentando de acordo com o tempo, ao longo do eixo y.
Afirmação 4. Se \theta=90^{\circ}, a carga faz um movimento linear e acelerado em torno do eixo y.
(A) 1 e 3
(B) 2 e 3
(C) 1,3 e 4
(D) 3 e 4
(E) Apenas 4

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para avaliar quatro afirmações sobre o ângulo \theta.
  • Campo elétrico: \vec{E}=(0,E_{0},0).
  • Campo magnético: \vec{B}=(0,B_{0},0).
  • A partícula tem carga positiva q>0 e massa m.
  • No tempo t=0 a velocidade está no plano xy fazendo ângulo \theta com o eixo x. Posso escrever a velocidade inicial como
\vec{v}(0)=v_{0}(\cos\theta,\sin\theta,0).
O que se pede: determinar quais das afirmações abaixo são corretas:
  1. Se \theta=0^\circ, a carga se move circularmente no plano xz.
  2. Se \theta=0^\circ, a carga faz um movimento helicoidal com passo constante ao longo do eixo y.
  3. Se \theta=10^\circ, a carga faz um movimento helicoidal com passo aumentando de acordo com o tempo, ao longo do eixo y.
  4. Se \theta=90^\circ, a carga faz um movimento linear e acelerado em torno do eixo y.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a força sobre uma carga em campos elétrico e magnético (força de Lorentz). A força total é
\vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr).
Aqui q é a carga (positiva), \vec{E} é o campo elétrico, \vec{v} é a velocidade e \vec{B} é o campo magnético. A parte q\vec{E} é uma força constante (se \vec{E} é constante) e a parte q\vec{v}\times\vec{B} é perpendicular à velocidade e produz efeitos de curvatura da trajetória.

Passo 3

Para prosseguir, escrevo a velocidade genérica no instante t como \vec{v}=(v_x,v_y,v_z). Como \vec{B}=(0,B_{0},0), calculo o produto vetorial:
\vec{v}\times\vec{B}=(-v_z B_{0},\,0,\,v_x B_{0}).
Somando com \vec{E}=(0,E_{0},0) e multiplicando por q, a força fica
\vec{F}=q(-v_z B_{0},\,E_{0},\,v_x B_{0}).
Usando \vec{F}=m\vec{a}=m\dot{\vec{v}} (pontos representam derivada temporal), obtemos as equações de movimento em componentes:
m\dot{v}_x = -qB_{0}v_z, \qquad m\dot{v}_y = qE_{0}, \qquad m\dot{v}_z = qB_{0}v_x.

Passo 4

Analiso a componente y separadamente: a equação
m\dot{v}_y = qE_{0}
significa que \dot{v}_y é constante. Integrando,
v_y(t)=v_{y}(0)+\frac{qE_{0}}{m}\,t.
Com v_{y}(0)=v_{0}\sin\theta temos
v_y(t)=v_{0}\sin\theta+\frac{qE_{0}}{m}\,t.
Logo, o movimento ao longo do eixo y é uma movimentação retilínea com aceleração constante \dfrac{qE_{0}}{m}. Em particular, a velocidade na direção y varia linearmente com o tempo — ou seja, só é constante se E_{0}=0.

Passo 5

Agora as componentes x e z estão acopladas:
m\dot{v}_x = -qB_{0}v_z,\qquad m\dot{v}_z = qB_{0}v_x.
Defino a frequência ciclotrônica
\omega=\frac{qB_{0}}{m}.
Posso diferenciar a primeira equação para eliminar v_z:
m\ddot{v}_x = -qB_{0}\dot{v}_z.
Mas \dot{v}_z=\omega v_x, então
\ddot{v}_x = -\omega^{2}v_x.
Isso é a equação de um oscilador harmônico para v_x, com soluções senoidais. Com condições iniciais típicas (por exemplo, v_z(0)=0 e v_x(0)=v_{0}\cos\theta) as velocidades perpendiculares ao campo ficam
v_x(t)=v_{0}\cos\theta\cos(\omega t),\qquad v_z(t)=v_{0}\cos\theta\sin(\omega t).
Integrando para obter posições, obtém-se movimento circular no plano xz com raio
R=\frac{v_{0}\cos\theta}{\omega}=\frac{m v_{0}\cos\theta}{qB_{0}},
ou seja, as projeções x(t),z(t) descrevem uma circunferência uniforme com frequência \omega. Isso mostra que o efeito do campo magnético é fazer a partícula girar no plano xz, enquanto o campo elétrico só age na direção y.

Passo 6

Interpretação física combinada:
  • No plano xz a partícula faz uma rotação circular (velocidade transversal ao campo magnético). A frequência e o raio dependem de qB_{0}/m e da componente inicial v_{0}\cos\theta.
  • Ao mesmo tempo, ao longo de y ocorre movimento retilíneo com aceleração constante \dfrac{qE_{0}}{m}. Assim, a trajetória tridimensional geral é uma hélice se houver componente inicial de velocidade em x (ou seja, se \cos\theta\neq0), mas o passo da hélice é controlado por v_y(t). Se E_{0}\neq0, v_y(t) muda com o tempo e o passo da hélice também muda (não é constante).

Passo 7

Agora analiso cada afirmação usando os resultados:
  • Afirmação 1: “Se \theta=0^\circ, a carga se move circularmente no plano xz.”
    • Para \theta=0^\circ temos v_{x}(0)=v_{0}, v_{y}(0)=0. No plano xz a partícula de fato descreve um círculo (como visto), porém simultaneamente existe a aceleração na direção y causada por \vec{E}, que faz com que a partícula saia do plano xz com o tempo. Portanto a trajetória não é puramente circular no espaço tridimensional — é uma hélice (se E_{0}\neq0). Logo a afirmação 1, tomada literalmente, é falsa.
  • Afirmação 2: “Se \theta=0^\circ, a carga faz um movimento helicoidal com passo constante ao longo do eixo y.”
    • Para \theta=0^\circ temos v_y(t)=0+(qE_{0}/m)t, ou seja, a componente v_y cresce com o tempo. O passo da hélice é proporcional à velocidade v_y durante um período de rotação; como v_y não é constante (a menos que E_{0}=0), o passo não é constante. Portanto a afirmação 2 é falsa (salvo no caso especial E_{0}=0, que não é o caso do enunciado).
  • Afirmação 3: “Se \theta=10^\circ, a carga faz um movimento helicoidal com passo aumentando de acordo com o tempo, ao longo do eixo y.”
    • Para \theta=10^\circ temos \cos\theta\neq0 e \sin\theta\neq0, então existe rotação no plano xz (porque v_x(0)=v_{0}\cos\theta\neq0) e também existe componente v_{y}(0)=v_{0}\sin\theta. Além disso, \,v_y(t)=v_{0}\sin\theta+(qE_{0}/m)t cresce linearmente com t. Isso significa que a trajetória é uma hélice cuja velocidade ao longo de y aumenta com o tempo, portanto o passo da hélice aumenta com o tempo. Logo a afirmação 3 é verdadeira.
  • Afirmação 4: “Se \theta=90^\circ, a carga faz um movimento linear e acelerado em torno do eixo y.” (interpreto como: movimento ao longo do eixo y, linear e acelerado)
    • Para \theta=90^\circ temos v_{x}(0)=0 e v_{z}(0)=0. As equações para x e z mostram que, se v_x e v_z são zero inicialmente, permanecem zero (não há força para iniciar rotação), logo não há movimento em x nem em z. Em y há aceleração constante \dfrac{qE_{0}}{m}, logo o movimento é retilíneo e uniformemente acelerado ao longo de y. Portanto a afirmação 4 é verdadeira.

Passo 8

Resumo lógico:
  • Afirmações verdadeiras: 3 e 4.
  • Afirmações falsas: 1 e 2.

Resposta

(D) 3 e 4

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