Questão
Considere uma partícula de carga positiva em uma região em que atuam um campo elétrico
e campo magnético
. No tempo
, a carga tem velocidade
no plano
, fazendo um ângulo de
com o eixo
. Considerando as afirmativas sobre o ângulo
, qual(is) dela(s) é(são) correta(s)?
Afirmação 1. Se
, a carga se move circularmente no plano
.
Afirmação 2. Se
, a carga faz um movimento helicoidal com passo constante ao longo do eixo
.
Afirmação 3. Se
, a carga faz um movimento helicoidal com passo aumentando de acordo com o tempo, ao longo do eixo
.
Afirmação 4. Se
, a carga faz um movimento linear e acelerado em torno do eixo
.
(A) 1 e 3
(B) 2 e 3
(C) 1,3 e 4
(D) 3 e 4
(E) Apenas 4
Afirmação 1. Se
Afirmação 3. Se
(A) 1 e 3
(B) 2 e 3
(C) 1,3 e 4
(D) 3 e 4
(E) Apenas 4
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para avaliar quatro afirmações sobre o ângulo
.
- Campo elétrico:
. - Campo magnético:
. - A partícula tem carga positiva
e massa . - No tempo
a velocidade está no plano fazendo ângulo com o eixo . Posso escrever a velocidade inicial como
O que se pede: determinar quais das afirmações abaixo são corretas:
- Se
, a carga se move circularmente no plano . - Se
, a carga faz um movimento helicoidal com passo constante ao longo do eixo . - Se
, a carga faz um movimento helicoidal com passo aumentando de acordo com o tempo, ao longo do eixo . - Se
, a carga faz um movimento linear e acelerado em torno do eixo .
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a força sobre uma carga em campos elétrico e magnético (força de Lorentz). A força total é
Aqui
é a carga (positiva),
é o campo elétrico,
é a velocidade e
é o campo magnético. A parte
é uma força constante (se
é constante) e a parte
é perpendicular à velocidade e produz efeitos de curvatura da trajetória.
Passo 3
Para prosseguir, escrevo a velocidade genérica no instante
como
. Como
, calculo o produto vetorial:
Somando com
e multiplicando por
, a força fica
Usando
(pontos representam derivada temporal), obtemos as equações de movimento em componentes:
Passo 4
Analiso a componente
separadamente: a equação
significa que
é constante. Integrando,
Com
temos
Logo, o movimento ao longo do eixo
é uma movimentação retilínea com aceleração constante
. Em particular, a velocidade na direção
varia linearmente com o tempo — ou seja, só é constante se
.
Passo 5
Agora as componentes
e
estão acopladas:
Defino a frequência ciclotrônica
Posso diferenciar a primeira equação para eliminar
:
Mas
, então
Isso é a equação de um oscilador harmônico para
, com soluções senoidais. Com condições iniciais típicas (por exemplo,
e
) as velocidades perpendiculares ao campo ficam
Integrando para obter posições, obtém-se movimento circular no plano
com raio
ou seja, as projeções
descrevem uma circunferência uniforme com frequência
. Isso mostra que o efeito do campo magnético é fazer a partícula girar no plano
, enquanto o campo elétrico só age na direção
.
Passo 6
Interpretação física combinada:
- No plano
a partícula faz uma rotação circular (velocidade transversal ao campo magnético). A frequência e o raio dependem de e da componente inicial . - Ao mesmo tempo, ao longo de
ocorre movimento retilíneo com aceleração constante . Assim, a trajetória tridimensional geral é uma hélice se houver componente inicial de velocidade em (ou seja, se ), mas o passo da hélice é controlado por . Se , muda com o tempo e o passo da hélice também muda (não é constante).
Passo 7
Agora analiso cada afirmação usando os resultados:
-
Afirmação 1: “Se
, a carga se move circularmente no plano .” - Para
temos , . No plano a partícula de fato descreve um círculo (como visto), porém simultaneamente existe a aceleração na direção causada por , que faz com que a partícula saia do plano com o tempo. Portanto a trajetória não é puramente circular no espaço tridimensional — é uma hélice (se ). Logo a afirmação 1, tomada literalmente, é falsa.
- Para
-
Afirmação 2: “Se
, a carga faz um movimento helicoidal com passo constante ao longo do eixo .” - Para
temos , ou seja, a componente cresce com o tempo. O passo da hélice é proporcional à velocidade durante um período de rotação; como não é constante (a menos que ), o passo não é constante. Portanto a afirmação 2 é falsa (salvo no caso especial , que não é o caso do enunciado).
- Para
-
Afirmação 3: “Se
, a carga faz um movimento helicoidal com passo aumentando de acordo com o tempo, ao longo do eixo .” - Para
temos e , então existe rotação no plano (porque ) e também existe componente . Além disso, cresce linearmente com . Isso significa que a trajetória é uma hélice cuja velocidade ao longo de aumenta com o tempo, portanto o passo da hélice aumenta com o tempo. Logo a afirmação 3 é verdadeira.
- Para
-
Afirmação 4: “Se
, a carga faz um movimento linear e acelerado em torno do eixo .” (interpreto como: movimento ao longo do eixo , linear e acelerado) - Para
temos e . As equações para e mostram que, se e são zero inicialmente, permanecem zero (não há força para iniciar rotação), logo não há movimento em nem em . Em há aceleração constante , logo o movimento é retilíneo e uniformemente acelerado ao longo de . Portanto a afirmação 4 é verdadeira.
- Para
Passo 8
Resumo lógico:
- Afirmações verdadeiras: 3 e 4.
- Afirmações falsas: 1 e 2.
Resposta
(D) 3 e 4