31{ }^{\text {a }} Questão

Sejam \vec{A} e \vec{B} dois vetores dados por \vec{A}=(a, 0,0) e \vec{B}=(a \cos \omega t, a \operatorname{sen} \omega t, 0), onde a é uma constante e a frequência angular é de \frac{\pi}{6} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Se |\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{3}|\vec{A}-\vec{B}| no tempo \tau pela primeira vez. O valor de \tau, em segundos, é:
(A) 13
(B) 10
(C) 7
(D) 4
(E) 2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Vetores:
    • \vec{A}=(a,0,0).
    • \vec{B}=\bigl(a\cos(\omega t),\,a\sin(\omega t),\,0\bigr).
  • Constantes:
    • a é uma constante (não nula).
    • \omega=\dfrac{\pi}{6}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Condição imposta: em um tempo \tau (a primeira vez que isso ocorre) vale |\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{3}\;|\vec{A}-\vec{B}|.
O que o enunciado pede:
  • Determinar \tau em segundos (o menor tempo positivo \tau que satisfaz a condição).

Passo 2

Vamos transformar a igualdade de módulos numa equação mais fácil de manipular: é comum elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar raízes. Para isso usamos a identidade (para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v}):
|\vec{u}\pm\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}\pm 2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
Explicando essa fórmula de maneira simples: o quadrado do comprimento de \vec{u}\pm\vec{v} é a soma dos quadrados dos comprimentos de \vec{u} e \vec{v} mais ou menos duas vezes o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. O produto escalar entre vetores em coordenadas é a soma dos produtos dos componentes correspondentes. Aqui vamos aplicar essa identidade com \vec{u}=\vec{A} e \vec{v}=\vec{B}.

Passo 3

Calcular magnitudes e produto escalar:
  • Primeiro, os módulos: |\vec{A}|=\sqrt{a^{2}+0+0}=a,\qquad |\vec{B}|=\sqrt{(a\cos\theta)^{2}+(a\sin\theta)^{2}+0}=a,onde escrevi \theta=\omega t para simplificar.
  • Agora o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B}. Usando componentes: \vec{A}\cdot\vec{B}=a\cdot(a\cos\theta)+0\cdot(a\sin\theta)+0\cdot 0 = a^{2}\cos\theta.
Portanto, aplicando a identidade do passo anterior:
|\vec{A}+\vec{B}|^{2}=a^{2}+a^{2}+2a^{2}\cos\theta = 2a^{2}(1+\cos\theta),
|\vec{A}-\vec{B}|^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}\cos\theta = 2a^{2}(1-\cos\theta).

Passo 4

Agora usamos a condição do enunciado. Elevando ao quadrado:
|\vec{A}+\vec{B}|^{2}=3\,|\vec{A}-\vec{B}|^{2}.
Substituindo as expressões do passo anterior:
2a^{2}(1+\cos\theta)=3\cdot 2a^{2}(1-\cos\theta).
Como a\neq 0, podemos simplificar dividindo por 2a^{2}:
1+\cos\theta=3(1-\cos\theta).
Desenvolvendo:
1+\cos\theta=3-3\cos\theta \quad\Rightarrow\quad 4\cos\theta=2 \quad\Rightarrow\quad \cos\theta=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Resolver \cos\theta=\tfrac{1}{2}. As soluções gerais para \theta são
\theta= \pm \tfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Queremos o menor tempo positivo \tau, isto é, o menor \theta>0 correspondente. O menor \theta>0 com \cos\theta=\tfrac{1}{2} é \theta=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 6

Relacionar \theta com o tempo: \theta=\omega t. Portanto, para \theta=\tfrac{\pi}{3},
\tau = \frac{\theta}{\omega}=\frac{\tfrac{\pi}{3}}{\tfrac{\pi}{6}}=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{6}{\pi}=2.
A unidade é segundos porque \omega estava em \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Breve verificação mental: \omega t=\pi/3 é a menor solução positiva; não existe solução positiva menor porque a outra solução dentro de [0,2\pi) seria 5\pi/3 (maior). Logo \tau=2\\ \mathrm{s} é realmente o primeiro tempo positivo.

Resposta

\tau=2\\ \mathrm{s}

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