Questão
Sejam
e
dois vetores dados por
e
, onde
é uma constante e a frequência angular é de
. Se
no tempo
pela primeira vez. O valor de
, em segundos, é:
(A) 13
(B) 10
(C) 7
(D) 4
(E) 2
(A) 13
(B) 10
(C) 7
(D) 4
(E) 2
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Vetores:
-
. -
.
-
- Constantes:
-
é uma constante (não nula). -
.
-
- Condição imposta: em um tempo
(a primeira vez que isso ocorre) vale
O que o enunciado pede:
- Determinar
em segundos (o menor tempo positivo que satisfaz a condição).
Passo 2
Vamos transformar a igualdade de módulos numa equação mais fácil de manipular: é comum elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar raízes. Para isso usamos a identidade (para quaisquer vetores
):
Explicando essa fórmula de maneira simples: o quadrado do comprimento de
é a soma dos quadrados dos comprimentos de
e
mais ou menos duas vezes o produto escalar
. O produto escalar entre vetores em coordenadas é a soma dos produtos dos componentes correspondentes. Aqui vamos aplicar essa identidade com
e
.
Passo 3
Calcular magnitudes e produto escalar:
- Primeiro, os módulos:
onde escrevi para simplificar. - Agora o produto escalar
. Usando componentes:
Portanto, aplicando a identidade do passo anterior:
Passo 4
Agora usamos a condição do enunciado. Elevando ao quadrado:
Substituindo as expressões do passo anterior:
Como
, podemos simplificar dividindo por
:
Desenvolvendo:
Passo 5
Resolver
. As soluções gerais para
são
Queremos o menor tempo positivo
, isto é, o menor
correspondente. O menor
com
é
.
Passo 6
Relacionar
com o tempo:
. Portanto, para
,
A unidade é segundos porque
estava em
.
Passo 7
Breve verificação mental:
é a menor solução positiva; não existe solução positiva menor porque a outra solução dentro de
seria
(maior). Logo
é realmente o primeiro tempo positivo.