2-40C Consider two identical small glass balls dropped into two identical containers, one filled with water and the other with oil. Which ball will reach the bottom of the container first? Why?

Passo 1

O enunciado: temos duas pequenas bolas de vidro idênticas soltas ao mesmo tempo em dois recipientes idênticos; um recipiente está cheio de água e o outro está cheio de óleo. Pergunta: qual bola chega primeiro ao fundo do respectivo recipiente e por quê?
Informações dadas e condições que entendemos do enunciado:
  • As bolas são idênticas (mesmo raio r, mesma densidade da bola \rho_s e mesmo peso).
  • Os recipientes são idênticos em dimensão (mesma profundidade).
  • Um fluido é água, o outro é óleo. Não foram dados números, mas devemos usar propriedades físicas gerais: a água tem densidade \rho_{\text{água}}á maior que a do óleo \rho_{\text{óleo}}ó e a viscosidade dinâmica \eta_{\text{água}}á é muito menor que a viscosidade do óleo \eta_{\text{óleo}}ó.
  • Pergunta prática de comparação de tempos de queda em fluidos viscosos — temos de explicar passo a passo e justificar.

Passo 2

Quais forças atuam na bola quando ela cai pelo fluido? Vou listar e explicar cada uma de forma simples:
  • Força peso: é a força para baixo devido à gravidade. Para uma bola de raio r e densidade \rho_s, a massa é m=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_s e o peso é F_g = m g = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_s g. Aqui g é a aceleração da gravidade (valor aproximado 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Força de empuxo (Arquimedes): é a força para cima igual ao peso do fluido deslocado pela bola. Seu módulo é F_b = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_f g, onde \rho_f é a densidade do fluido ( \rho_{\text{água}}á ou \rho_{\text{óleo}}ó).
  • Força de arrasto (viscosa): é a força de resistência do fluido que aponta para cima e aumenta com a velocidade da bola. Para pequenas esferas movendo-se lentamente em um fluido viscoso (regime de baixo número de Reynolds) a força de arrasto obedece à lei de Stokes:
F_d = 6\pi \eta r v,
onde \eta é a viscosidade dinâmica do fluido e v é a velocidade instantânea da esfera. Vou explicar mais sobre essa lei no próximo passo.

Passo 3

Quando a bola cai ela inicialmente acelera por causa do peso resultante F_g - F_b, mas à medida que a velocidade cresce a força de arrasto F_d também cresce até que as forças se equilibrem e a velocidade pare de aumentar — essa velocidade constante chama-se velocidade limite ou velocidade terminal v_t. No equilíbrio (velocidade terminal) a soma das forças verticais é zero:
F_g - F_b - F_d = 0.
Substituindo as expressões:
\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_s g - \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_f g - 6\pi \eta r v_t = 0.
Agora isolamos v_t. Primeiro fatoramos \frac{4}{3}\pi r^3 g(\rho_s-\rho_f):
\frac{4}{3}\pi r^3(\rho_s-\rho_f) g = 6\pi \eta r v_t.
Dividindo ambos os lados por 6\pi \eta r:
v_t = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3(\rho_s-\rho_f) g}{6\pi \eta r}.
Simplificando constantes e potências de r (note que \frac{4}{3}\div 6=\frac{2}{9} e r^3/r=r^2):
\boxed{v_t = \frac{2 r^2 (\rho_s - \rho_f)\, g}{9\,\eta}.}
Explicando cada símbolo:
  • v_t: velocidade terminal da bola no fluido.
  • r: raio da bola (mesmo para as duas bolas).
  • \rho_s: densidade do material da bola (vidro).
  • \rho_f: densidade do fluido (água ou óleo).
  • g: aceleração da gravidade.
  • \eta: viscosidade dinâmica do fluido.
Observação sobre validade: essa fórmula vem da lei de Stokes para arrasto, que é válida quando o fluxo ao redor da esfera é laminar e o número de Reynolds é pequeno — situação típica para “pequenas” bolas e velocidades baixas. Essa é a abordagem mais simples e geralmente a esperada para problemas didáticos como este. Se as esferas fossem grandes e rápidas, o arrasto teria dependência quadrática em v e o raciocínio mudaria; falarei brevemente disso depois.

Passo 4

Agora comparemos v_t para as duas situações: água e óleo. A fórmula mostra que
v_t \propto \frac{\rho_s - \rho_f}{\eta}.
Para a mesma bola r e \rho_s fixos, a diferença entre as duas velocidades é determinada por \rho_f (densidade do fluido) e \eta (viscosidade). Vamos escrever a razão entre a velocidade terminal no óleo v_{\text{óleo}}ó e na água v_{\text{água}}á:
\frac{v_{\text{óleo}}}{v_{\text{água}}} = \frac{(\rho_s-\rho_{\text{óleo}})/\eta_{\text{óleo}}}{(\rho_s-\rho_{\text{água}})/\eta_{\text{água}}} = \frac{\rho_s-\rho_{\text{óleo}}}{\rho_s-\rho_{\text{água}}}\cdot\frac{\eta_{\text{água}}}{\eta_{\text{óleo}}}.óáóóááóááó
Agora raciocínio físico com propriedades típicas:
  • A densidade do óleo \rho_{\text{óleo}}ó é um pouco menor que a densidade da água \rho_{\text{água}}á. Isso faz com que \rho_s-\rho_{\text{óleo}}ó seja ligeiramente maior que \rho_s-\rho_{\text{água}}á; portanto o numerador da primeira fração é um pouco maior que o denominador — esse efeito aumenta v_t no óleo, mas é pequeno porque \rho_s (vidro) é muito maior que ambas densidades.
  • A viscosidade do óleo \eta_{\text{óleo}}ó é muito maior que a da água \eta_{\text{água}}á. Como \eta aparece no denominador da expressão de v_t, uma \eta maior reduz muito a velocidade terminal. Esse efeito geralmente domina a comparação.
Em palavras: o óleo dá menos empuxo (leva a um ligeiro aumento da força resultante para baixo) mas oferece muito mais resistência viscosa — e essa resistência extra é o fator determinante, tornando v_t no óleo muito menor do que em água.

Passo 5

Para tornar a diferença mais concreta, vou usar valores típicos:
  • densidade do vidro: \rho_s \approx 2500\\ \mathrm{kg/m^3} (valor típico),
  • densidade da água: \rho_{\text{água}} \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}á,
  • densidade do óleo: \rho_{\text{óleo}} \approx 900\\ \mathrm{kg/m^3}ó (valor aproximado para óleos leves),
  • viscosidade da água: \eta_{\text{água}} \approx 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}á,
  • viscosidade do óleo: \eta_{\text{óleo}}ó pode variar bastante; um valor típico de óleo mais viscoso que usamos aqui é \eta_{\text{óleo}}\approx 1{,}0\times 10^{-1}\\ \mathrm{Pa\cdot s}ó (cem vezes a viscosidade da água).
Calculemos a razão:
\frac{v_{\text{óleo}}}{v_{\text{água}}} \approx \frac{2500-900}{2500-1000}\cdot\frac{1{,}0\times 10^{-3}}{1{,}0\times 10^{-1}} = \frac{1600}{1500}\cdot 10^{-2} \approx 1{,}067\times 0{,}01 \approx 0{,}0107.óá
Ou seja, com esses números de exemplo v_{\text{óleo}}ó é cerca de 1\% de v_{\text{água}}á — muito mais lento na prática. Mesmo se o óleo tivesse uma viscosidade só 10 vezes a da água, a velocidade no óleo ainda seria várias vezes menor. Portanto a bola na água atinge o fundo bem mais rápido.

Passo 6

Breve comentário sobre outros regimes (caso você pense em prova): se as esferas fossem grandes e a queda produzisse fluxo turbulento (número de Reynolds alto), o arrasto teria forma aproximada F_d \approx \tfrac{1}{2} C_d \rho_f A v^2 (dependendo da densidade do fluido e do coeficiente de arrasto C_d). Mesmo nesse caso:
  • o arrasto em óleo tende a ser maior por causa da maior viscosidade (e o perfil do escoamento muda),
  • a diferença de empuxo ainda é pequena comparada à massa da esfera de vidro,
    logo, qualitativamente a bola na água ainda costuma chegar primeiro. Em resumo: tanto no regime laminar (Stokes) quanto no regime mais rápido, o efeito da maior viscosidade do óleo tende a provocar menor velocidade de descida.

Passo 7

Conclusão física e incentivo: a explicação curta é — a bola no óleo sofre muito mais resistência viscosa (arrasto) do que a bola na água; embora o óleo dê um pouco menos de empuxo, essa diferença é pequena comparada ao grande aumento da resistência. Resultado práctico: a bola na água chega primeiro ao fundo. Vai dar tudo certo na prova — compreendeu a ideia central: compare empuxo versus arrasto e veja qual efeito domina.

Resposta

A bola no recipiente com água.

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