2-53 In regions far from the entrance, fluid flow through a circular pipe is one-dimensional, and the velocity profile for
laminar flow is given by u(r)=u_{\text {max }}\left(1-r^{2} / R^{2}\right), where R is the radius of the pipe, r is the radial distance from the center of the pipe, and u_{\text {max }} is the maximum flow velocity, which occurs at the center. Obtain (a) a relation for the drag force applied by the fluid on a section of the pipe of length L and (b) the value of the drag force for water flow at $20^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá a velocidade axial do escoamento laminar em um tubo circular, longe da entrada:
u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),
onde \;R é o raio do tubo, \;r é a distância radial ao centro e \;u_{\max} é a velocidade máxima no centro. Pede-se:
(a) obter uma relação para a força de arraste (força de cisalhamento total) aplicada pelo fluido na superfície interna de um trecho do tubo de comprimento \;L;
(b) calcular o valor dessa força para água a 20^\circ\mathrm{C}.
Informações relevantes fornecidas:
u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),\qquad \text{trecho de comprimento }L,\qquad \text{raio }R.
Observação: o enunciado não fornece valores numéricos para \;u_{\max}, \;R ou \;L; portanto no item (b) vou substituir apenas a viscosidade dinâmica da água a 20^\circ\mathrm{C} e apresentar a expressão numérica dependente de \;u_{\max} e \;L.

Passo 2

Entendendo o que é a força de arraste aqui (a ideia física, passo a passo):
  • Em um fluido newtoniano (como água) a tensão de cisalhamento local é dada por
\tau(r)=\mu\frac{du}{dr},
onde \;\mu é a viscosidade dinâmica e \;du/dr é o gradiente radial da velocidade. A direção da tensão é tangencial à parede e a força total que o fluido exerce na parede do tubo sobre o trecho de comprimento \;L é a tensão na parede multiplicada pela área interna lateral do trecho (circunferência vezes comprimento).
Vou calcular \;du/dr a partir de \;u(r):
\frac{du}{dr}=u_{\max}\frac{d}{dr}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)=u_{\max}\left(-\frac{2r}{R^{2}}\right)=-\frac{2u_{\max}r}{R^{2}}.

Passo 3

Agora avalio o gradiente na parede, em r=R:
\left.\frac{du}{dr}\right|_{r=R}=-\frac{2u_{\max}R}{R^{2}}=-\frac{2u_{\max}}{R}.
A tensão de cisalhamento na parede (magnitude) é então
\tau_{w}=\left|\mu\left.\frac{du}{dr}\right|_{r=R}\right|=\mu\frac{2u_{\max}}{R}.
(O sinal negativo do gradiente indica que a velocidade diminui ao afastar-se do centro; a magnitude da tensão é positiva e age no sentido contrário ao escoamento.)

Passo 4

Área lateral interna do trecho do tubo de comprimento \;L é 2\pi R L. Assim a força de arraste total (magnitude) é tensão na parede vezes essa área:
F=\tau_{w}\times(2\pi R L)=\left(\mu\frac{2u_{\max}}{R}\right)(2\pi R L).
Cancelando R obtemos a expressão simples:
F=4\pi\mu u_{\max} L.
Essa é a relação pedida no item (a). Ela mostra que a força de arraste cresce linearmente com \;\mu, com \;u_{\max} e com \;L.

Passo 5

Para tornar a resposta mais útil na prova, é comum reescrever em termos de vazão volumétrica \;Q ou da velocidade média \;u_{\text{m}}. Calculo \;Q:
Q=\int_{0}^{R}2\pi r\,u(r)\,dr=2\pi u_{\max}\int_{0}^{R}\!\!r\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)dr.
Resolvo a integral passo a passo:
\int_{0}^{R}r\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)dr=\int_{0}^{R}\left(r-\frac{r^{3}}{R^{2}}\right)dr=\left[\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4R^{2}}\right]_{0}^{R}=\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{2}}{4}=\frac{R^{2}}{4}.
Logo
Q=2\pi u_{\max}\cdot\frac{R^{2}}{4}=\frac{\pi R^{2}u_{\max}}{2}.
Daí a velocidade média \;u_{\text{m}}=Q/(\pi R^{2}) é
u_{\text{m}}=\frac{u_{\max}}{2}\quad\Rightarrow\quad u_{\max}=2u_{\text{m}}.
Substituindo em F:
F=4\pi\mu(2u_{\text{m}})L=8\pi\mu u_{\text{m}} L,
ou em termos de \;Q:
F=\frac{8\mu Q L}{R^{2}}.
Essas formas podem ser úteis dependendo do que derem na prova.

Passo 6

Item (b): valor da força para água a 20^\circ\mathrm{C}.
A viscosidade dinâmica da água a 20^\circ\mathrm{C} vale aproximadamente
\mu=1,002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Substituindo em F=4\pi\mu u_{\max} L obtemos
F=(4\pi)(1,002\times10^{-3})\,u_{\max} L\approx 0,01259\,u_{\max}L,
onde \;F está em newtons se \;u_{\max} estiver em \mathrm{m/s} e \;L em \mathrm{m}.
Observação importante: como o enunciado não fornece valores numéricos para \;u_{\max} e \;L, não é possível dar um número absoluto para F; a expressão acima é o valor numérico específico para a água a 20^\circ\mathrm{C} ainda dependente de \;u_{\max} e \;L. Exemplo ilustrativo: se \;u_{\max}=0,5\\ \mathrm{m/s} e \;L=1\\ \mathrm{m}, então
F\approx 0,01259\times0,5\times1=0,006295\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) F=4\pi\mu u_{\max} L.
(b) Para água a 20^\circ\mathrm{C} ( \mu=1,002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}): F\approx0,01259\,u_{\max}L (com u_{\max} em \mathrm{m/s} e L em \mathrm{m}).

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