2-53 In regions far from the entrance, fluid flow through a circular pipe is one-dimensional, and the velocity profile for
laminar flow is given by u(r)=u_{\text {max }}\left(1-r^{2} / R^{2}\right), where R is the radius of the pipe, r is the radial distance from the center of the pipe, and u_{\text {max }} is the maximum flow velocity, which occurs at the center. Obtain (a) a relation for the drag force applied by the fluid on a section of the pipe of length L and (b) the value of the drag force for water flow at $20^{\circ}
Passo 1
O enunciado dá a velocidade axial do escoamento laminar em um tubo circular, longe da entrada:
u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),
onde \;R é o raio do tubo, \;r é a distância radial ao centro e \;u_{\max} é a velocidade máxima no centro. Pede-se:
(a) obter uma relação para a força de arraste (força de cisalhamento total) aplicada pelo fluido na superfície interna de um trecho do tubo de comprimento \;L;
(b) calcular o valor dessa força para água a 20^\circ\mathrm{C}.
Informações relevantes fornecidas:
u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),\qquad \text{trecho de comprimento }L,\qquad \text{raio }R.
Observação: o enunciado não fornece valores numéricos para \;u_{\max}, \;R ou \;L; portanto no item (b) vou substituir apenas a viscosidade dinâmica da água a 20^\circ\mathrm{C} e apresentar a expressão numérica dependente de \;u_{\max} e \;L.
Passo 2
Entendendo o que é a força de arraste aqui (a ideia física, passo a passo):
Em um fluido newtoniano (como água) a tensão de cisalhamento local é dada por
\tau(r)=\mu\frac{du}{dr},
onde \;\mu é a viscosidade dinâmica e \;du/dr é o gradiente radial da velocidade. A direção da tensão é tangencial à parede e a força total que o fluido exerce na parede do tubo sobre o trecho de comprimento \;L é a tensão na parede multiplicada pela área interna lateral do trecho (circunferência vezes comprimento).
(O sinal negativo do gradiente indica que a velocidade diminui ao afastar-se do centro; a magnitude da tensão é positiva e age no sentido contrário ao escoamento.)
Passo 4
Área lateral interna do trecho do tubo de comprimento \;L é 2\pi R L. Assim a força de arraste total (magnitude) é tensão na parede vezes essa área:
F=\tau_{w}\times(2\pi R L)=\left(\mu\frac{2u_{\max}}{R}\right)(2\pi R L).
Cancelando R obtemos a expressão simples:
F=4\pi\mu u_{\max} L.
Essa é a relação pedida no item (a). Ela mostra que a força de arraste cresce linearmente com \;\mu, com \;u_{\max} e com \;L.
Passo 5
Para tornar a resposta mais útil na prova, é comum reescrever em termos de vazão volumétrica \;Q ou da velocidade média \;u_{\text{m}}. Calculo \;Q:
onde \;F está em newtons se \;u_{\max} estiver em \mathrm{m/s} e \;L em \mathrm{m}.
Observação importante: como o enunciado não fornece valores numéricos para \;u_{\max} e \;L, não é possível dar um número absoluto para F; a expressão acima é o valor numérico específico para a água a 20^\circ\mathrm{C} ainda dependente de \;u_{\max} e \;L. Exemplo ilustrativo: se \;u_{\max}=0,5\\ \mathrm{m/s} e \;L=1\\ \mathrm{m}, então
(a) F=4\pi\mu u_{\max} L.
(b) Para água a 20^\circ\mathrm{C} (\mu=1,002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}): F\approx0,01259\,u_{\max}L (com u_{\max} em \mathrm{m/s} e L em \mathrm{m}).