*41. Considere x como um número irracional. Mostre que para um número inteiro positivo j não excedente a n, o valor absoluto da diferença entre j x e o inteiro mais próximo a j x é menor que 1 / n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dado um irracional x e um inteiro positivo n, existe um inteiro j com 1\le j\le n tal que a distância de j\,x ao inteiro mais próximo é menor que 1/n.
O conteúdo utilizado será o princípio da casa dos pombos aplicado às partes fracionárias de múltiplos de x.

Passo 2

Considere as n+1 números
0\cdot x,\;1\cdot x,\;2\cdot x,\;\dots,\;n\cdot x
e sejam \{\alpha_k\}=\{k\,x\} suas partes fracionárias, com k=0,1,\dots,n. Cada \{\alpha_k\} está em [0,1).
Agora, particione o intervalo [0,1) em n subintervalos de comprimento 1/n. Como há n+1 valores \{\alpha_k\} e apenas n subintervalos, por princípio da casa dos pombos dois deles caem no mesmo subintervalo.

Passo 3

Sejam a<b os índices tais que
\bigl|\{\alpha_b\}-\{\alpha_a\}\bigr|<\frac1n.
Defina
j=b-a,\quad 1\le j\le n,
e o inteiro
m=\lfloor b\,x\rfloor-\lfloor a\,x\rfloor.
Então
j\,x = b\,x - a\,x = \bigl(\lfloor b\,x\rfloor-\lfloor a\,x\rfloor\bigr) + \bigl(\{\alpha_b\}-\{\alpha_a\}\bigr) = m + \bigl(\{\alpha_b\}-\{\alpha_a\}\bigr).
Logo
\bigl|j\,x - m\bigr| = \bigl|\{\alpha_b\}-\{\alpha_a\}\bigr| < \frac1n.
Aqui m é um inteiro que fica a menos de 1/n de j\,x, e por isso coincide com o inteiro mais próximo a j\,x.

Resposta

Existem j e m inteiros com 1\le j\le n tais que
\bigl|j\,x - m\bigr| < \frac1n,
ou seja, a diferença entre j\,x e o inteiro mais próximo é menor que 1/n.

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