*41. Considere x como um número irracional. Mostre que para um número inteiro positivo j não excedente a n, o valor absoluto da diferença entre j x e o inteiro mais próximo a j x é menor que 1 / n.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dado um irracional x e um inteiro positivo n, existe um inteiro j com 1\le j\le n tal que a distância de j\,x ao inteiro mais próximo é menor que 1/n.
O conteúdo utilizado será o princípio da casa dos pombos aplicado às partes fracionárias de múltiplos de x.
Passo 2
Considere as n+1 números
0\cdot x,\;1\cdot x,\;2\cdot x,\;\dots,\;n\cdot x
e sejam \{\alpha_k\}=\{k\,x\} suas partes fracionárias, com k=0,1,\dots,n. Cada \{\alpha_k\} está em [0,1).
Agora, particione o intervalo [0,1) em n subintervalos de comprimento 1/n. Como há n+1 valores \{\alpha_k\} e apenas n subintervalos, por princípio da casa dos pombos dois deles caem no mesmo subintervalo.