Há 51 casas em uma rua. Cada casa tem um número entre 1000 e 1099, inclusive. Mostre que pelo menos duas casas têm números que são inteiros consecutivos.

Passo 1

O enunciado diz que há 51 casas numeradas com inteiros em [1000,1099] e pede para mostrar que existem pelo menos duas casas cujos números são consecutivos. O conteúdo principal aqui é o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle).

Passo 2

Vamos particionar os 100 inteiros de 1000 a 1099 em 50 pares disjuntos de números consecutivos. Para isso, para cada k=0,1,\dots,49 definimos o k-ésimo par como
\{\,1000+2k,\;1001+2k\}.

Passo 3

Temos 51 casas (pombos) e apenas 50 pares (caixas). Como 51>50, pelo Princípio da Casa dos Pombos, ao menos um desses pares deve conter dois números escolhidos.

Passo 4

Os dois números que caem no mesmo par são, por construção, números inteiros consecutivos. Logo, necessariamente existem pelo menos duas casas com números consecutivos.

Resposta

Conclui-se que há pelo menos duas casas com números inteiros consecutivos.

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