Há 51 casas em uma rua. Cada casa tem um número entre 1000 e 1099, inclusive. Mostre que pelo menos duas casas têm números que são inteiros consecutivos.
Passo 1
O enunciado diz que há 51 casas numeradas com inteiros em
e pede para mostrar que existem pelo menos duas casas cujos números são consecutivos. O conteúdo principal aqui é o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle).
Passo 2
Vamos particionar os 100 inteiros de
a
em
pares disjuntos de números consecutivos. Para isso, para cada
definimos o
-ésimo par como
Passo 3
Temos
casas (pombos) e apenas
pares (caixas). Como
, pelo Princípio da Casa dos Pombos, ao menos um desses pares deve conter dois números escolhidos.
Passo 4
Os dois números que caem no mesmo par são, por construção, números inteiros consecutivos. Logo, necessariamente existem pelo menos duas casas com números consecutivos.
Resposta
Conclui-se que há pelo menos duas casas com números inteiros consecutivos.