2.41 Exercício. Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]
a) Calcule a inversa de A.
b) Encontre a solução para o sistema A X=B, onde B^{t}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar bem claro para a gente não se perder):
  • A matriz dada é
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].
  • O enunciado pede duas coisas:
    (a) calcular a inversa de A, ou seja \,A^{-1}\,;
    (b) resolver o sistema A X=B, onde foi dada a transposta de B: B^{t}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]. Isso significa que
B=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{array}\right].]

Passo 2

Observação sobre a estrutura de A e escolha do método:
  • Olhando para A vemos que ela é praticamente blocada em dois blocos 2\times2: o bloco superior esquerdo atua sobre as duas primeiras coordenadas e o bloco inferior direito sobre as duas últimas; os outros elementos são zero. Escrevendo em blocos:
A=\begin{pmatrix} A_1 & 0\\[4pt] 0 & A_2 \end{pmatrix},
onde
A_1=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}3 & 5\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
  • Quando uma matriz é blocada diagonalmente assim, a inversa (se existir) também é blocada diagonalmente e basta inverter cada bloco: \,A^{-1}=\begin{pmatrix}A_1^{-1}&0\\[4pt]0&A_2^{-1}\end{pmatrix}. Por isso vamos calcular as inversas dos 2\times2 A_1 e A_2 separadamente — é o método mais simples e rápido aqui.]

Passo 3

Fórmula e explicação para inversa de uma matriz 2\times2:
  • Para uma matriz
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
a determinante é \det(M)=ad-bc.
  • Se \det(M)\neq 0, então a inversa existe e vale
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
  • Aqui \,a,b,c,d são os elementos de M. Essa fórmula vem de exigir M M^{-1}=I e resolver para os coeficientes; é um resultado padrão e muito prático em provas.]

Passo 4

Calcular A_1^{-1}:
  • Primeiro a determinante de A_1:
\det(A_1)=2\cdot2-3\cdot1=4-3=1.
  • Como \det(A_1)=1\neq0, a inversa existe e pela fórmula:
A_1^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
  • (Pequena verificação mental: multiplicando A_1 por A_1^{-1} obtém-se a identidade 2\times2, confirmando.)]

Passo 5

Calcular A_2^{-1}:
  • Determinante de A_2:
\det(A_2)=3\cdot2-5\cdot1=6-5=1.
  • Como \det(A_2)=1\neq0, a inversa é
A_2^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
  • (Também aqui \,A_2 A_2^{-1}=I_2.)]

Passo 6

Montar A^{-1} a partir dos blocos:
  • Como explicado, a inversa de A é bloco-diagonal com A_1^{-1} e A_2^{-1}:
A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 2 & -3 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 7

Resolver A X=B usando A^{-1}:
  • A forma direta é X=A^{-1}B.
  • Já identificamos B=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{array}\right]. Como A^{-1} é blocada, podemos multiplicar por blocos:
    • Para as duas primeiras entradas de X usamos A_1^{-1} multiplicando o subvetor \left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]0\end{smallmatrix}\right]:
    \begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
    • Para as duas últimas entradas de X usamos A_2^{-1} multiplicando o subvetor \left[\begin{smallmatrix}-1\\[2pt]0\end{smallmatrix}\right]:
    \begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Portanto o vetor solução é
X=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{array}\right].]

Resposta

(a) A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 2 & -3 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 3 \end{array}\right]
(b) X=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{array}\right]]

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