O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular a inversa de A, ou seja \,A^{-1}\,;
(b) resolver o sistema A X=B, onde foi dada a transposta de B: B^{t}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]. Isso significa que
Observação sobre a estrutura de A e escolha do método:
Olhando para A vemos que ela é praticamente blocada em dois blocos 2\times2: o bloco superior esquerdo atua sobre as duas primeiras coordenadas e o bloco inferior direito sobre as duas últimas; os outros elementos são zero. Escrevendo em blocos:
Quando uma matriz é blocada diagonalmente assim, a inversa (se existir) também é blocada diagonalmente e basta inverter cada bloco: \,A^{-1}=\begin{pmatrix}A_1^{-1}&0\\[4pt]0&A_2^{-1}\end{pmatrix}. Por isso vamos calcular as inversas dos 2\times2A_1 e A_2 separadamente — é o método mais simples e rápido aqui.]
Passo 3
Fórmula e explicação para inversa de uma matriz 2\times2:
Aqui \,a,b,c,d são os elementos de M. Essa fórmula vem de exigir M M^{-1}=I e resolver para os coeficientes; é um resultado padrão e muito prático em provas.]
Passo 4
Calcular A_1^{-1}:
Primeiro a determinante de A_1:
\det(A_1)=2\cdot2-3\cdot1=4-3=1.
Como \det(A_1)=1\neq0, a inversa existe e pela fórmula: